Номер 844, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Решение прямоугольных треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 844, страница 183.

Условие 2023.

844. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 10 см, а расстояние между серединой гипотенузы и основанием высоты треугольника, проведённой к гипотенузе, равно 6 см. Найдите периметр данного треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. $AB$ – гипотенуза, $AC$ и $BC$ – катеты. Пусть их длины равны $b$, $a$ и $c$ соответственно.

Пусть $M$ – середина гипотенузы $AB$. Тогда $CM$ – медиана, проведенная к гипотенузе. По условию, $CM = 10$ см. Пусть $H$ – основание высоты $CH$, проведенной из вершины $C$ к гипотенузе. Расстояние между серединой гипотенузы $M$ и основанием высоты $H$ равно $MH = 6$ см.

1. Найдём длину гипотенузы.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $c = AB = 2 \cdot CM$. $c = 2 \cdot 10 = 20$ см. Так как $M$ – середина $AB$, то $AM = MB = \frac{c}{2} = 10$ см.

2. Найдём длины проекций катетов на гипотенузу.
Проекциями катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу являются отрезки $AH$ и $HB$. Точки $A, H, M, B$ лежат на гипотенузе. Их расположение позволяет найти длины проекций: $AH = AM - MH = 10 - 6 = 4$ см.
$HB = MB + MH = 10 + 6 = 16$ см.
Проверим: $AH + HB = 4 + 16 = 20$ см, что равно длине гипотенузы $c$.

3. Найдём длины катетов.
Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $AC$ (длина $b$):
$b^2 = AC^2 = AH \cdot AB = 4 \cdot 20 = 80$.
$b = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см. Для катета $BC$ (длина $a$):
$a^2 = BC^2 = HB \cdot AB = 16 \cdot 20 = 320$.
$a = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$ см.

4. Найдём периметр треугольника.
Периметр $P$ треугольника – это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. $P = 8\sqrt{5} + 4\sqrt{5} + 20$. $P = 20 + 12\sqrt{5}$ см.

Ответ: $20 + 12\sqrt{5}$ см.

Условие 2015-2022.

844. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 10 см, а расстояние между серединой гипотенузы и основанием высоты треугольника, проведённой к гипотенузе, равно 6 см. Найдите периметр данного треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).