Номер 840, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Подобие треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 840, страница 183.

Условие 2023.

840. Прямая $MB$ пересекает окружность в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между точками $M$ и $B$), а прямая $MD$ — в точках $C$ и $D$ (точка $C$ лежит между точками $M$ и $D$), причём $AB = MC$, $MA = 20$ см, $CD = 11$ см. Найдите отрезок $AB$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи используется теорема о двух секущих, проведенных из одной точки к окружности. Согласно этой теореме, произведение длины внешней части секущей на длину всей секущей является величиной постоянной для всех секущих, проведенных из данной точки к данной окружности. Для секущих $MB$ и $MD$, проведенных из точки $M$, это свойство записывается в виде равенства:

$MA \cdot MB = MC \cdot MD$

Введем переменную для искомой величины. Пусть длина отрезка $AB$ равна $x$ см. Исходя из условия задачи, выразим длины всех отрезков, входящих в формулу:

• $MA = 20$ см (дано).
• $AB = x$ см.
• $MB = MA + AB = 20 + x$ см.
• $MC = AB = x$ см (дано).
• $CD = 11$ см (дано).
• $MD = MC + CD = x + 11$ см.

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство теоремы о секущих:

$20 \cdot (20 + x) = x \cdot (x + 11)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$400 + 20x = x^2 + 11x$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 11x - 20x - 400 = 0$

$x^2 - 9x - 400 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D$. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400) = 81 + 1600 = 1681$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 41}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 41}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Длина отрезка не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -16$ не является решением задачи. Таким образом, единственное подходящее значение $x=25$. Следовательно, длина отрезка $AB$ составляет 25 см.

Ответ: 25 см.

Условие 2015-2022.

840. Прямая $MB$ пересекает окружность в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между точками $M$ и $B$), а прямая $MD$ – в точках $C$ и $D$ (точка $C$ лежит между точками $M$ и $D$), причём $AB = MC$, $MA = 20 \text{ см}$, $CD = 11 \text{ см}$. Найдите отрезок $AB$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).