Номер 842, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Подобие треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 842, страница 183.

Условие 2023.

842. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$, $CM = 4$ см, $DM = 6$ см, отрезок $AM$ на 2 см больше отрезка $BM$. Найдите хорду $AB$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Согласно свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Для хорд AB и CD, пересекающихся в точке M, это свойство записывается в виде формулы: $AM \cdot BM = CM \cdot DM$.
По условию задачи даны длины отрезков хорды CD: $CM = 4$ см и $DM = 6$ см. Вычислим их произведение:
$CM \cdot DM = 4 \cdot 6 = 24$ см².
Следовательно, произведение отрезков хорды AB также равно 24:
$AM \cdot BM = 24$.
По условию, отрезок AM на 2 см больше отрезка BM. Обозначим длину отрезка BM за $x$ см. Тогда длина отрезка AM будет равна $(x + 2)$ см.
Подставим эти выражения в уравнение:
$(x + 2) \cdot x = 24$.
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 + 2x = 24$
$x^2 + 2x - 24 = 0$.
Корни этого уравнения можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -2, а их произведение равно -24. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и -6. Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -6$.
Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, единственным подходящим решением является $x = 4$.
Таким образом, длина отрезка $BM = 4$ см.
Тогда длина отрезка AM будет: $AM = x + 2 = 4 + 2 = 6$ см.
Длина всей хорды AB равна сумме длин ее отрезков AM и BM:
$AB = AM + BM = 6 \text{ см} + 4 \text{ см} = 10$ см.
Ответ: 10 см.

Условие 2015-2022.

842. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$, $CM = 4$ см, $DM = 6$ см, $AM$ на 2 см больше $BM$. Найдите хорду $AB$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).