Номер 835, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Подобие треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 835, страница 183.

Условие 2023.

835. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, со-ставляет $ \frac{2}{9} $ высоты, проведённой к основанию треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны $a$, а основание равно $b$. Высота, проведённая к основанию, равна $h$, а радиус вписанной окружности — $r$.

По условию задачи, периметр треугольника $P$ равен 72 см. Периметр вычисляется по формуле:

$P = 2a + b = 72$ см.

Также по условию, радиус вписанной окружности составляет $\frac{2}{9}$ высоты, проведённой к основанию:

$r = \frac{2}{9}h$

Площадь любого треугольника можно найти двумя способами:

1. Через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} b \cdot h$
2. Через полупериметр и радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр.

Сначала найдём полупериметр $p$:

$p = \frac{P}{2} = \frac{72}{2} = 36$ см.

Теперь приравняем два выражения для площади треугольника:

$\frac{1}{2} b \cdot h = p \cdot r$

Подставим в это уравнение известные нам соотношения: $p = 36$ и $r = \frac{2}{9}h$.

$\frac{1}{2} b \cdot h = 36 \cdot (\frac{2}{9}h)$

Поскольку высота $h$ не может быть равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $h$:

$\frac{1}{2} b = 36 \cdot \frac{2}{9}$

$\frac{1}{2} b = \frac{72}{9}$

$\frac{1}{2} b = 8$

Отсюда находим основание $b$:

$b = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Теперь, зная основание, мы можем найти боковые стороны из формулы периметра $2a + b = 72$:

$2a + 16 = 72$

$2a = 72 - 16$

$2a = 56$

$a = \frac{56}{2} = 28$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 28 см, 28 см и 16 см.

Ответ: Боковые стороны треугольника равны 28 см, основание — 16 см.

Условие 2015-2022.

835. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, составляет $2/9$ высоты, проведённой к основанию треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).