Номер 838, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Подобие треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 838, страница 183.

Условие 2023.

838. Периметр параллелограмма равен 72 см, а его высоты относятся как $5:7$. Найдите стороны параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, — $h_a$ и $h_b$ соответственно.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи $P = 72$ см, из чего следует:

$2(a+b) = 72$

$a+b = 36$ см.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить, умножив сторону на проведенную к ней высоту: $S = a \cdot h_a$ или $S = b \cdot h_b$. Так как площадь одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Из этого соотношения можно выразить отношение сторон, которое оказывается обратно пропорциональным отношению высот:

$\frac{a}{b} = \frac{h_b}{h_a}$

Это означает, что к большей стороне параллелограмма проведена меньшая высота, а к меньшей стороне — большая.

По условию, высоты относятся как $5:7$. Пусть меньшая высота равна $5x$, а большая — $7x$. Тогда отношение сторон будет обратным:

$\frac{a}{b} = \frac{7}{5}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения сторон $a$ и $b$:

$\begin{cases} a+b = 36 \\ \frac{a}{b} = \frac{7}{5} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим сторону $a$ через $b$: $a = \frac{7}{5}b$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{7}{5}b + b = 36$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{7b + 5b}{5} = 36$

$\frac{12b}{5} = 36$

Теперь решим уравнение относительно $b$:

$b = \frac{36 \cdot 5}{12} = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Зная одну сторону, находим вторую из уравнения $a+b=36$:

$a = 36 - b = 36 - 15 = 21$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 15 см и 21 см.

Условие 2015-2022.

838. Периметр параллелограмма равен 72 см, а его высоты относятся как $5 : 7$. Найдите стороны параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).