Номер 839, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Подобие треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 839, страница 183.

Условие 2023.

839. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Проведите прямую, равноудалённую от этих точек. Сколько решений имеет задача?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть даны три точки $A$, $B$, и $C$, не лежащие на одной прямой. Эти точки образуют вершины треугольника $\triangle ABC$. Требуется найти все прямые $l$, для которых расстояния от точек $A$, $B$, $C$ до этой прямой равны. Обозначим это расстояние как $d$, то есть должно выполняться условие $d(A, l) = d(B, l) = d(C, l) = d$.

Рассмотрим возможные расположения точек $A$, $B$, и $C$ относительно искомой прямой $l$.

Случай 1: Все три точки лежат по одну сторону от прямой $l$.

Если две точки лежат на одном и том же расстоянии от прямой и по одну сторону от неё, то прямая, проходящая через эти точки, параллельна искомой прямой.

• Из условия $d(A, l) = d(B, l)$ следует, что прямая $l$ параллельна прямой $AB$.
• Из условия $d(B, l) = d(C, l)$ следует, что прямая $l$ параллельна прямой $BC$.

Таким образом, прямая $l$ должна быть одновременно параллельна двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ (они пересекаются в точке $B$, так как точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой). Это невозможно. Следовательно, в данном случае решений нет.

Случай 2: Две точки лежат по одну сторону от прямой $l$, а третья — по другую.

Пусть, для определенности, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $l$, а точка $C$ — по другую.

• Из того, что $A$ и $B$ лежат на одном расстоянии от $l$ и по одну сторону от неё, следует, что прямая $l$ параллельна прямой $AB$.
• Из того, что $A$ и $C$ лежат на одном расстоянии от $l$, но по разные стороны от неё, следует, что прямая $l$ должна проходить через середину отрезка $AC$. Обозначим середину $AC$ как $M_b$.
• Аналогично, из того, что $B$ и $C$ лежат на одном расстоянии от $l$, но по разные стороны от неё, следует, что прямая $l$ должна проходить через середину отрезка $BC$. Обозначим середину $BC$ как $M_a$.

Итак, искомая прямая $l$ должна удовлетворять трём условиям: проходить через точку $M_a$, проходить через точку $M_b$ и быть параллельной прямой $AB$.

Прямая, проходящая через середины сторон $AC$ и $BC$ треугольника $\triangle ABC$, является его средней линией. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне, то есть $AB$. Таким образом, все три условия выполняются для прямой, содержащей среднюю линию $M_aM_b$. Эта прямая является решением задачи.

Рассмотрев все возможные комбинации расположения точек, мы найдем все решения. По аналогии, существуют ещё две такие прямые:

1. Прямая, содержащая среднюю линию, соединяющую середины сторон $AB$ и $BC$. В этом случае точка $B$ будет находиться по одну сторону от прямой, а точки $A$ и $C$ — по другую.
2. Прямая, содержащая среднюю линию, соединяющую середины сторон $AB$ и $AC$. В этом случае точка $A$ будет находиться по одну сторону от прямой, а точки $B$ и $C$ — по другую.

Таким образом, для трёх заданных точек, не лежащих на одной прямой, существует ровно три прямые, равноудалённые от этих точек. Каждая из этих прямых является средней линией треугольника, образованного данными точками.

Построение:

1. Соедините точки $A$, $B$ и $C$ отрезками, чтобы получить треугольник $\triangle ABC$.
2. Найдите середины каждой стороны: $M_a$ (середина $BC$), $M_b$ (середина $AC$) и $M_c$ (середина $AB$).
3. Проведите прямые через пары этих середин: прямую через $M_a$ и $M_b$, прямую через $M_b$ и $M_c$, и прямую через $M_c$ и $M_a$. Эти три прямые и будут искомыми.

Ответ: Задача имеет 3 решения. Это три прямые, каждая из которых содержит одну из средних линий треугольника, образованного тремя данными точками.

Условие 2015-2022.

839. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Проведите прямую, равноудалённую от этих точек. Сколько решений имеет задача?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).