Номер 837, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Подобие треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 837, страница 183.

Условие 2023.

837. В треугольник $ABC$ вписан ромб $ADEF$ так, что угол $A$ у них общий, а вершина $E$ принадлежит стороне $BC$. Найдите сторону ромба, если $AB = a, AC = b$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть сторона ромба $ADEF$ равна $x$. По условию, у треугольника $ABC$ и ромба $ADEF$ угол $A$ общий. Это означает, что вершина $A$ ромба совпадает с вершиной $A$ треугольника, а вершины $D$ и $F$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно.

Таким образом, мы имеем:

• $AD = AF = x$ (стороны ромба).
• Точка $D$ лежит на $AB$, значит $AD = x$.
• Точка $F$ лежит на $AC$, значит $AF = x$.
• Точка $E$ лежит на $BC$.

По определению ромба, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона $DE$ ромба параллельна стороне $AF$. Так как точка $F$ лежит на прямой $AC$, то получаем, что $DE \parallel AC$.

Рассмотрим $\triangle BDE$ и $\triangle BAC$.

• $\angle B$ — общий.
• $\angle BDE = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольники $\triangle BDE$ и $\triangle BAC$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $\frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC}$

Выразим длины отрезков через известные величины $a$, $b$ и искомую $x$:

• $BA = AB = a$
• $AC = b$
• $DE = x$ (как сторона ромба)
• $BD = AB - AD = a - x$

Подставим эти выражения в пропорцию: $\frac{a-x}{a} = \frac{x}{b}$

Решим полученное уравнение относительно $x$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $b(a - x) = a \cdot x$ $ab - bx = ax$ $ab = ax + bx$ $ab = x(a + b)$ $x = \frac{ab}{a + b}$

Ответ: $\frac{ab}{a+b}$

Условие 2015-2022.

837. В треугольник $ABC$ вписан ромб $ADEF$ так, что угол $A$ у них общий, а вершина $E$ принадлежит стороне $BC$. Найдите сторону ромба, если $AB = a, AC = b$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).