Номер 830, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Подобие треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 830, страница 182.

Условие 2023.

830. Найдите отношение оснований трапеции, если её диагонали делят среднюю линию трапеции на три равные части.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция ABCD, где BC и AD — её основания. Обозначим длины оснований как BC = $a$ и AD = $b$.

Пусть MN — средняя линия трапеции, где точка M является серединой боковой стороны AB, а точка N — серединой боковой стороны CD.

Диагонали AC и BD пересекают среднюю линию MN в точках P и Q соответственно. По условию задачи, эти точки делят среднюю линию на три равные части. Будем считать, что точки на средней линии расположены в порядке M, P, Q, N. Таким образом, из условия следует, что MP = PQ = QN.

Рассмотрим треугольник ΔABC. Отрезок MP является его средней линией. Это следует из того, что точка M — середина стороны AB, а отрезок MP параллелен основанию BC (так как вся средняя линия MN параллельна основаниям трапеции). По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины параллельной ей стороны:
MP = $\frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.

Аналогично, рассмотрим треугольник ΔDBC. Точка N — середина стороны CD, а отрезок NQ параллелен стороне BC. Следовательно, отрезок NQ является средней линией треугольника ΔDBC (соединяет середины сторон CD и BD), и его длина равна половине длины основания BC:
NQ = $\frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.

По условию задачи MP = PQ = QN. Так как мы установили, что MP = $\frac{a}{2}$ и NQ = $\frac{a}{2}$, то и центральный отрезок PQ также равен $\frac{a}{2}$.

Теперь мы можем найти полную длину средней линии MN, сложив длины трёх её равных частей:
MN = MP + PQ + QN = $\frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$.

С другой стороны, длина средней линии трапеции вычисляется по формуле как полусумма её оснований:
MN = $\frac{a+b}{2}$.

Приравняем два полученных выражения для длины MN:
$\frac{a+b}{2} = \frac{3a}{2}$.

Умножим обе части этого равенства на 2:
$a + b = 3a$.

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения:
$b = 2a$.

Это равенство показывает, что одно основание трапеции в два раза больше другого. Найдём их отношение. Отношение меньшего основания к большему будет:
$\frac{a}{b} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, основания трапеции относятся как 1:2.

Ответ: 1:2.

Условие 2015-2022.

830. Найдите отношение оснований трапеции, если её диагонали делят среднюю линию трапеции на три равные части.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).