Номер 828, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 828, страница 182.

Условие 2023.

828. Диагонали четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, перпендикулярны, $\angle ACB = 10^\circ$, $\angle BDC = 70^\circ$. Найдите углы данного четырёхугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — данный четырёхугольник, вписанный в окружность. Обозначим точку пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$ как $O$.

По условию, диагонали перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$, и все углы при их пересечении равны $90°$: $∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°$.

Также по условию даны углы: $∠ACB = 10°$ и $∠BDC = 70°$.

Используем свойство углов, вписанных в окружность: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

• Углы $∠ACB$ и $∠ADB$ опираются на дугу $AB$. Следовательно, $∠ADB = ∠ACB = 10°$.
• Углы $∠BDC$ и $∠BAC$ опираются на дугу $BC$. Следовательно, $∠BAC = ∠BDC = 70°$.

Теперь, зная эти углы, мы можем найти все углы четырёхугольника, рассматривая четыре прямоугольных треугольника, образованных пересечением диагоналей.

Найдём составные части углов четырёхугольника:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ ($∠AOB=90°$). Нам известен $∠BAC$ (он же $∠OAB$) = $70°$.
   Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, поэтому:
   $∠ABD = ∠ABO = 90° - ∠OAB = 90° - 70° = 20°$.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOC$ ($∠BOC=90°$). Нам известен $∠ACB$ (он же $∠OCB$) = $10°$.
   $∠CBD = ∠CBO = 90° - ∠OCB = 90° - 10° = 80°$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $COD$ ($∠COD=90°$). Нам известен $∠BDC$ (он же $∠ODC$) = $70°$.
   $∠ACD = ∠OCD = 90° - ∠ODC = 90° - 70° = 20°$.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOA$ ($∠DOA=90°$). Нам известен $∠ADB$ (он же $∠ODA$) = $10°$.
   $∠CAD = ∠OAD = 90° - ∠ODA = 90° - 10° = 80°$.

Найдём углы четырёхугольника $ABCD$:

Угол A равен сумме углов $∠CAD$ и $∠CAB$:
$∠A = ∠DAB = ∠CAD + ∠CAB = 80° + 70° = 150°$.

Угол B равен сумме углов $∠ABD$ и $∠CBD$:
$∠B = ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 20° + 80° = 100°$.

Угол C равен сумме углов $∠BCA$ и $∠ACD$:
$∠C = ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 10° + 20° = 30°$.

Угол D равен сумме углов $∠ADB$ и $∠BDC$:
$∠D = ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 10° + 70° = 80°$.

Для проверки воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна $180°$.
$∠A + ∠C = 150° + 30° = 180°$.
$∠B + ∠D = 100° + 80° = 180°$.
Равенства верны, значит, углы найдены правильно.

Ответ: Углы данного четырёхугольника равны $∠A = 150°$, $∠B = 100°$, $∠C = 30°$, $∠D = 80°$.

Условие 2015-2022.

828. Диагонали четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, перпендикулярны, $\angle ACB = 10^\circ$, $\angle BDC = 70^\circ$. Найдите углы данного четырёхугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).