Номер 827, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 827, страница 182.

Условие 2023.

827. Докажите, что если вершина угла лежит внутри окружности, а угол опирается на диаметр окружности, то этот угол – тупой или развёрнутый.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана окружность с диаметром AB. Пусть C — вершина угла, которая лежит внутри этой окружности, а стороны угла проходят через точки A и B, образуя угол $\angle ACB$. Требуется доказать, что $\angle ACB$ является тупым или развёрнутым.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки C.

Случай 1: Вершина C лежит на диаметре AB.

Если точка C лежит на отрезке AB, то точки A, C и B коллинеарны (лежат на одной прямой). В этом случае угол $\angle ACB$ является развёрнутым, и его величина равна $180^\circ$. Это удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Вершина C не лежит на диаметре AB.

Проведём луч из точки A через точку C до пересечения с окружностью в точке D. Так как точка A находится на окружности, а точка C — внутри неё, такое пересечение всегда существует. Точки A, C, D лежат на одной прямой, причём C находится между A и D.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Угол $\angle ACB$ является внешним углом этого треугольника при вершине C, так как он смежен с внутренним углом $\angle BCD$.

По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle ACB = \angle CDB + \angle CBD$

Рассмотрим угол $\angle CDB$. Поскольку точки A, C, D лежат на одной прямой, прямая CD совпадает с прямой AD. Следовательно, угол $\angle CDB$ — это тот же самый угол, что и $\angle ADB$.

Угол $\angle ADB$ является вписанным углом, который опирается на диаметр AB. По теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Таким образом:

$\angle ADB = 90^\circ$

Следовательно, и $\angle CDB = 90^\circ$. Подставим это значение в выражение для $\angle ACB$:

$\angle ACB = 90^\circ + \angle CBD$

Так как точка C не лежит на диаметре AB, точки B, C и D не лежат на одной прямой и образуют треугольник $\triangle BCD$. В этом треугольнике угол $\angle CBD$ является положительной величиной:

$\angle CBD > 0^\circ$

Отсюда следует, что величина угла $\angle ACB$ строго больше $90^\circ$:

$\angle ACB > 90^\circ$

Угол, больший $90^\circ$ и меньший $180^\circ$, является тупым.

Таким образом, мы доказали, что если вершина угла лежит внутри окружности и опирается на диаметр, то этот угол является либо развёрнутым (если вершина лежит на диаметре), либо тупым (если вершина не лежит на диаметре). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если вершина угла лежит на диаметре, угол является развёрнутым ($180^\circ$). Если вершина не лежит на диаметре, угол является тупым ($>90^\circ$), так как он равен сумме прямого угла (вписанного, опирающегося на диаметр) и другого положительного угла треугольника.

Условие 2015-2022.

827. Докажите, что если вершина угла лежит внутри окружности, а угол опирается на диаметр окружности, то этот угол – тупой или развёрнутый.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).