Номер 826, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 826, страница 182.

Условие 2023.

826. Докажите, что если вершина угла лежит вне окружности, а угол опирается на диаметр окружности, то этот угол – острый.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Пусть точка $C$ лежит вне этой окружности, так что стороны угла $\angle ACB$ проходят через точки $A$ и $B$. Нам нужно доказать, что $\angle ACB$ — острый, то есть его градусная мера меньше $90^\circ$.

Для доказательства рассмотрим все возможные положения прямых $CA$ и $CB$ относительно окружности.

Случай 1: Хотя бы одна из прямых, CA или CB, является секущей.

Без ограничения общности, предположим, что прямая $CA$ является секущей. Поскольку точка $C$ находится вне окружности, а точка $A$ — на окружности, прямая $CA$ пересекает окружность в двух точках. Одна из них — точка $A$. Обозначим вторую точку пересечения как $D$. Так как $C$ вне окружности, точка $D$ будет лежать на отрезке $CA$.

Соединим точки $D$ и $B$ отрезком. Рассмотрим угол $\angle ADB$. Его вершина $D$ лежит на окружности, и он опирается на диаметр $AB$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, угол $\angle ADB$ является прямым, то есть $\angle ADB = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CDB$. Угол $\angle ADB$ является внешним углом для этого треугольника при вершине $D$, так как он смежен с внутренним углом $\angle CDB$, а его стороны образованы стороной $DB$ и продолжением стороны $CD$ (лучом $DA$).

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, величина внешнего угла больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Следовательно, для треугольника $\triangle CDB$ и его внешнего угла $\angle ADB$ справедливо неравенство: $$ \angle ADB > \angle DCB $$

Поскольку $\angle DCB$ — это тот же самый угол, что и $\angle ACB$, мы можем переписать неравенство как: $$ \angle ADB > \angle ACB $$

Подставив известное значение $\angle ADB = 90^\circ$, получаем: $$ 90^\circ > \angle ACB $$

Это доказывает, что угол $\angle ACB$ является острым.

Случай 2: Одна из прямых является касательной, а другая — секущей.

Пусть прямая $CA$ касается окружности в точке $A$, а прямая $CB$ является секущей. Касательная к окружности перпендикулярна диаметру (и радиусу), проведенному в точку касания. Следовательно, прямая $CA$ перпендикулярна диаметру $AB$. Это означает, что $\angle CAB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$: $$ \angle ACB + \angle CBA + \angle CAB = 180^\circ $$

Подставим значение $\angle CAB = 90^\circ$: $$ \angle ACB + \angle CBA + 90^\circ = 180^\circ $$ $$ \angle ACB + \angle CBA = 90^\circ $$

Поскольку точка $C$ лежит вне окружности, а точки $A$ и $B$ на ней, треугольник $\triangle ABC$ является невырожденным, а значит, угол $\angle CBA$ имеет положительную величину: $\angle CBA > 0^\circ$.

Из равенства $\angle ACB + \angle CBA = 90^\circ$ следует, что $\angle ACB = 90^\circ - \angle CBA$. Так как $\angle CBA > 0^\circ$, то $\angle ACB < 90^\circ$.

Таким образом, и в этом случае угол $\angle ACB$ является острым. (Случай, когда $CB$ - касательная, а $CA$ - секущая, доказывается аналогично).

(Заметим, что случай, когда обе прямые $CA$ и $CB$ являются касательными, невозможен, так как касательные, проведенные к окружности в конечных точках диаметра, параллельны друг другу и, следовательно, не могут пересекаться в точке $C$.)

Мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них было доказано, что угол $\angle ACB$ острый.

Ответ: Утверждение доказано. Если вершина угла лежит вне окружности, а угол опирается на диаметр, то этот угол всегда меньше $90^\circ$, то есть является острым. Доказательство основано на сравнении этого угла с прямым углом, опирающимся на тот же диаметр (с вершиной на окружности), с помощью теоремы о внешнем угле треугольника или свойства касательной.

Условие 2015-2022.

826. Докажите, что если вершина угла лежит вне окружности, а угол опирается на диаметр окружности, то этот угол – острый.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).