Номер 829, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Подобие треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 829, страница 182.

Условие 2023.

829. Две параллельные прямые пересекают одну из сторон угла с вершиной $M$ в точках $A$ и $C$, а другую – соответственно в точках $B$ и $D$. Найдите отрезки $MA$ и $MC$, если $MB : BD = 2 : 3$ и $MA + MC = 14$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан угол с вершиной в точке $M$. Две параллельные прямые пересекают стороны этого угла. Одна прямая пересекает стороны в точках $A$ и $B$, а другая, параллельная ей, — в точках $C$ и $D$. Точки $A$ и $C$ лежат на одной стороне угла, а точки $B$ и $D$ — на другой. Из этого следует, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Рассмотрим два треугольника, которые образуются в этой конфигурации: $\triangle MAB$ и $\triangle MCD$. Эти треугольники подобны, так как:

1. Угол $\angle M$ у них общий.
2. Углы $\angle MAB$ и $\angle MCD$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $MC$.

Поскольку $\triangle MAB \sim \triangle MCD$, их соответствующие стороны пропорциональны: $$ \frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD} $$

По условию задачи дано отношение $MB : BD = 2 : 3$. Введем коэффициент пропорциональности $k$, тогда $MB = 2k$ и $BD = 3k$. Длина отрезка $MD$ является суммой длин отрезков $MB$ и $BD$: $$ MD = MB + BD = 2k + 3k = 5k $$

Теперь найдем отношение длин сторон $MB$ и $MD$: $$ \frac{MB}{MD} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5} $$

Подставим полученное отношение в пропорцию сторон подобных треугольников: $$ \frac{MA}{MC} = \frac{2}{5} $$ Из этого равенства можно выразить $MA$ через $MC$: $$ MA = \frac{2}{5} MC $$

Также, согласно условию, $MA + MC = 14$ см. Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} MA = \frac{2}{5} MC \\ MA + MC = 14 \end{cases} $$

Подставим выражение для $MA$ из первого уравнения во второе: $$ \frac{2}{5} MC + MC = 14 $$ Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{2}{5} MC + \frac{5}{5} MC = 14 $$ $$ \frac{7}{5} MC = 14 $$ Найдем $MC$: $$ MC = 14 \cdot \frac{5}{7} = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см} $$

Теперь, зная значение $MC$, найдем $MA$: $$ MA = 14 - MC = 14 - 10 = 4 \text{ см} $$

Ответ: $MA = 4$ см, $MC = 10$ см.

Условие 2015-2022.

829. Две параллельные прямые пересекают одну из сторон угла с вершиной M в точках A и C, а другую – соответственно в точках B и D.

Найдите отрезки MA и MC, если $MB : BD = 2 : 3$ и $MA + MC = 14$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).