Номер 824, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 824, страница 182.

Условие 2023.

824. Диагональ равнобокой трапеции равна большему основанию и образует с ним угол $40^\circ$. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Диагональ $AC$ соединяет вершину $A$ с вершиной $C$.

Согласно условию задачи:
1. Трапеция $ABCD$ является равнобокой. Это означает, что её боковые стороны равны ($AB = CD$), а углы при каждом основании равны между собой ($\angle BAD = \angle CDA$ и $\angle ABC = \angle BCD$).
2. Диагональ $AC$ равна большему основанию $AD$, то есть $AC = AD$.
3. Угол, который диагональ $AC$ образует с большим основанием $AD$, равен $40^\circ$. Таким образом, $\angle CAD = 40^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Так как по условию стороны $AC$ и $AD$ равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно:
$\angle ACD = \angle CDA$.

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Для треугольника $\triangle ACD$ справедливо равенство:
$\angle CAD + \angle ACD + \angle CDA = 180^\circ$
Подставим известные значения и учтём, что $\angle ACD = \angle CDA$:
$40^\circ + \angle CDA + \angle CDA = 180^\circ$
$40^\circ + 2 \cdot \angle CDA = 180^\circ$
Выразим $\angle CDA$:
$2 \cdot \angle CDA = 180^\circ - 40^\circ$
$2 \cdot \angle CDA = 140^\circ$
$\angle CDA = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$

Итак, мы нашли один из углов трапеции, $\angle D = 70^\circ$. Теперь найдём остальные углы.
По свойству равнобокой трапеции, углы при большем основании равны:
$\angle A = \angle D = 70^\circ$

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых ($AD \parallel BC$) и секущей ($CD$).
$\angle BCD + \angle CDA = 180^\circ$
$\angle C + 70^\circ = 180^\circ$
$\angle C = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

По свойству равнобокой трапеции, углы при меньшем основании также равны:
$\angle B = \angle C = 110^\circ$

Таким образом, углы трапеции равны $70^\circ$, $110^\circ$, $110^\circ$ и $70^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $70^\circ$ и $110^\circ$.

Условие 2015-2022.

824. Диагональ равнобокой трапеции равна большему основанию и образует с ним угол $40^\circ$. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).