Номер 817, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 817, страница 181.

Условие 2023.

817. На диагонали $AC$ ромба $ABCD$ отмечены точки $M$ и $K$ так, что $AM = CK$. Докажите, что $\angle ABM = \angle CBK$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBK $.

Поскольку $ ABCD $ — ромб, то по определению все его стороны равны. Следовательно, $ AB = BC $.

По условию задачи, на диагонали $ AC $ отмечены точки $ M $ и $ K $ так, что $ AM = CK $.

Рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. Он является равнобедренным, так как его боковые стороны $ AB $ и $ BC $ равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $ \angle BAC = \angle BCA $. Так как точки $ M $ и $ K $ лежат на диагонали $ AC $, то $ \angle BAM = \angle BAC $ и $ \angle BCK = \angle BCA $. Отсюда следует, что $ \angle BAM = \angle BCK $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBK $ мы имеем:

• $ AB = CB $ (как стороны ромба);
• $ \angle BAM = \angle BCK $ (как углы при основании равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $);
• $ AM = CK $ (по условию задачи).

Следовательно, треугольник $ \triangle ABM $ равен треугольнику $ \triangle CBK $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. В равных треугольниках $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBK $ углы $ \angle ABM $ и $ \angle CBK $ лежат напротив равных сторон $ AM $ и $ CK $ соответственно, а значит, эти углы равны.

Таким образом, $ \angle ABM = \angle CBK $.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

817. На диагонали $AC$ ромба $ABCD$ отмечены точки $M$ и $K$ так, что $AM = CK$. Докажите, что $\angle ABM = \angle CBK$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).