Номер 814, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 814, страница 181.

Условие 2023.

814. Угол при вершине $B$ ромба $ABCD$ равен $40^\circ$, точки $M$ и $K$ – основания перпендикуляров, опущенных из вершины $A$ на стороны $BC$ и $CD$ соответственно. Найдите углы треугольника $AMK$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

По свойствам ромба $ABCD$ все его стороны равны ($AB=BC=CD=DA$), а противоположные углы равны. Поскольку по условию $\angle B = 40^\circ$, то противолежащий ему угол $\angle D$ также равен $40^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ (так как $AM \perp BC$) и $\triangle ADK$ (так как $AK \perp CD$). Они равны по гипотенузе и острому углу, так как гипотенузы $AB$ и $AD$ равны как стороны ромба, а острые углы $\angle B$ и $\angle D$ равны $40^\circ$.

Из равенства треугольников следует, что их катеты $AM$ и $AK$ также равны. Следовательно, треугольник $\triangle AMK$ является равнобедренным с основанием $MK$, а его углы при основании равны: $\angle AMK = \angle AKM$.

Для нахождения углов $\triangle AMK$ вычислим сначала угол при вершине $\angle MAK$. Проведем для этого диагональ $AC$.

В треугольнике $\triangle ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, значит, он равнобедренный. Углы при его основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABM$ найдем угол $\angle BAM$: $\angle BAM = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Теперь можем найти угол $\angle MAC$ как разность углов $\angle BAC$ и $\angle BAM$: $\angle MAC = \angle BAC - \angle BAM = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ$.

Аналогично поступим для другой части ромба. В равнобедренном треугольнике $\triangle ADC$ угол при основании $\angle DAC$ равен: $\angle DAC = \frac{180^\circ - \angle D}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADK$ найдем угол $\angle DAK$: $\angle DAK = 90^\circ - \angle D = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Найдем угол $\angle KAC$ как разность углов $\angle DAC$ и $\angle DAK$: $\angle KAC = \angle DAC - \angle DAK = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ$.

Искомый угол $\angle MAK$ равен сумме углов $\angle MAC$ и $\angle KAC$: $\angle MAK = \angle MAC + \angle KAC = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ$.

Теперь, зная угол при вершине равнобедренного треугольника $\triangle AMK$, найдем его углы при основании:

$\angle AMK = \angle AKM = \frac{180^\circ - \angle MAK}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$.

Ответ: углы треугольника AMK равны $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.

Условие 2015-2022.

814. Угол при вершине $B$ ромба $ABCD$ равен $40^\circ$, точки $M$ и $K$ – основания перпендикуляров, опущенных из вершины $A$ на стороны $BC$ и $CD$ соответственно. Найдите углы треугольника $AMK$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).