Номер 812, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 812, страница 181.

Условие 2023.

812. Верно ли утверждение:

1) если две стороны четырёхугольника параллельны, а одна из диагоналей разбивает четырёхугольник на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

2) если две стороны четырёхугольника параллельны, а точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

3) если две противоположащие стороны четырёхугольника равны и диагонали его равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

1) если две стороны четырёхугольника параллельны, а одна из диагоналей разбивает четырёхугольник на два равных треугольника, то этот четырёхугольник – параллелограмм;

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Пусть стороны $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Пусть диагональ $AC$ разбивает его на два равных (конгруэнтных) треугольника $ABC$ и $CDA$.

Из равенства треугольников $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ следует равенство их соответствующих сторон и углов. В частности, сторона $AB$ в треугольнике $ABC$ равна соответствующей стороне $CD$ в треугольнике $CDA$, а сторона $BC$ равна стороне $DA$.

Итак, мы имеем четырёхугольник $ABCD$, в котором $AD \parallel BC$ (по условию) и $AD = BC$ (из равенства треугольников).

Согласно признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. Утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

2) если две стороны четырёхугольника параллельны, а точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм;

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$, в котором стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$). Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, точка $O$ делит одну из диагоналей пополам. Пусть это будет диагональ $AC$, то есть $AO = OC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.

1. $AO = OC$ (по условию).
2. $\angle OAD = \angle OCB$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
3. $\angle AOD = \angle COB$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников, если учесть, что $\angle ODA = \angle OBC$ как накрест лежащие). Таким образом, $\triangle AOD \cong \triangle COB$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AD = BC$ и $DO = OB$.

Поскольку в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны $AD$ и $BC$ равны ($AD=BC$) и параллельны ($AD \parallel BC$), то по признаку параллелограмма $ABCD$ является параллелограммом.

(Также можно сделать вывод на основании того, что диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения $O$ делятся пополам, что также является признаком параллелограмма).

Ответ: утверждение верно.

3) если две противолежащие стороны четырёхугольника равны и диагонали его равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм?

Утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример.

Рассмотрим равнобедренную (равнобокую) трапецию $ABCD$, у которой основаниями являются стороны $AB$ и $CD$ ($AB \parallel CD$).

В такой трапеции:

1. Противолежащие боковые стороны равны: $AD = BC$.
2. Диагонали равны: $AC = BD$.

Таким образом, для равнобедренной трапеции $ABCD$ условия утверждения выполнены: две противолежащие стороны ($AD$ и $BC$) равны, и диагонали ($AC$ и $BD$) равны.

Однако равнобедренная трапеция не является параллелограммом, так как у неё только одна пара параллельных сторон (основания $AB$ и $CD$), а другая пара противолежащих сторон ($AD$ и $BC$) не параллельна.

Следовательно, утверждение является ложным.

Ответ: утверждение неверно.

Условие 2015-2022.

812. Верно ли утверждение:

1) если две стороны четырёхугольника параллельны, а одна из диагоналей разбивает четырёхугольник на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

2) если две стороны четырёхугольника параллельны, а точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

3) если две противолежащие стороны четырёхугольника равны и диагонали его равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).