Номер 809, страница 180 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 809, страница 180.

Условие 2023.

809. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = a$, $BC = b$, $a > b$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $CBD$, касаются диагонали $BD$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите отрезок $MK$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию, $AB = a$ и $BC = b$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно, $CD = AB = a$ и $AD = BC = b$. Диагональ $BD$ делит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны равны $AB = a$, $AD = b$ и $BD$. Обозначим длину диагонали $BD$ как $d$. Окружность, вписанная в $\triangle ABD$, касается стороны $BD$ в точке $M$.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности. Расстояние от вершины треугольника до точек касания на прилежащих сторонах одинаково. Для вершины $B$ в $\triangle ABD$ расстояние до точек касания на сторонах $AB$ и $BD$ равно $BM$. Это расстояние можно найти по формуле:$BM = p_{ABD} - AD$, где $p_{ABD}$ — полупериметр треугольника $ABD$.Полупериметр $p_{ABD} = \frac{AB + AD + BD}{2} = \frac{a + b + d}{2}$.Тогда $BM = \frac{a + b + d}{2} - b = \frac{a + b + d - 2b}{2} = \frac{a - b + d}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $CBD$. Его стороны равны $CB = b$, $CD = a$ и $BD = d$. Окружность, вписанная в $\triangle CBD$, касается стороны $BD$ в точке $K$.

Аналогично найдем расстояние $BK$ от вершины $B$ до точки касания $K$ на стороне $BD$.Полупериметр треугольника $CBD$ равен $p_{CBD} = \frac{CB + CD + BD}{2} = \frac{b + a + d}{2}$.Тогда $BK = p_{CBD} - CD = \frac{a + b + d}{2} - a = \frac{a + b + d - 2a}{2} = \frac{b - a + d}{2}$.

Точки $M$ и $K$ лежат на диагонали $BD$. Длина отрезка $MK$ равна модулю разности длин отрезков $BM$ и $BK$:$MK = |BM - BK|$Подставим найденные выражения для $BM$ и $BK$:$MK = \left| \frac{a - b + d}{2} - \frac{b - a + d}{2} \right| = \left| \frac{(a - b + d) - (b - a + d)}{2} \right|$$MK = \left| \frac{a - b + d - b + a - d}{2} \right| = \left| \frac{2a - 2b}{2} \right| = |a - b|$

По условию задачи $a > b$, следовательно, $a - b > 0$.Таким образом, $MK = a - b$.

Ответ: $a-b$

Условие 2015-2022.

809. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = a$, $BC = b$, $a > b$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $CBD$, касаются диагонали $BD$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите отрезок $MK$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).