Номер 806, страница 180 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 806, страница 180.

Условие 2023.

806. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки длиной 9 см и 14 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

Пусть биссектриса одного из углов параллелограмма (например, угла $A$ в параллелограмме $ABCD$) пересекает одну из его сторон в точке $E$. Биссектриса не может делить прилежащие стороны ($AB$ или $AD$), следовательно, она пересекает либо противолежащую сторону $CD$, либо смежную сторону $BC$.

Рассмотрим случай, когда биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$.

Поскольку у параллелограмма противоположные стороны параллельны ($AD \parallel BC$), то накрест лежащие углы при секущей $AE$ равны: $\angle DAE = \angle BEA$.

По определению биссектрисы, $\angle DAE = \angle BAE$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle BEA = \angle BAE$. Это означает, что треугольник $ABE$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $AB = BE$.

Таким образом, биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Одна из сторон параллелограмма ($AB$) оказывается равной отрезку ($BE$), который биссектриса отсекает на другой стороне ($BC$).

По условию задачи, сторона делится на отрезки длиной 9 см и 14 см. Это значит, что вся сторона, которую пересекает биссектриса, имеет длину $9 + 14 = 23$ см. Смежная сторона, как мы выяснили, равна одному из этих отрезков. Следовательно, возможны два случая.

Первый возможный случай

Одна сторона параллелограмма равна $9 + 14 = 23$ см, а вторая сторона равна меньшему из отрезков — 9 см.

Найдем периметр для этого случая:

$P_1 = 2 \cdot (23 + 9) = 2 \cdot 32 = 64$ см.

Ответ: 64 см.

Второй возможный случай

Одна сторона параллелограмма равна $9 + 14 = 23$ см, а вторая сторона равна большему из отрезков — 14 см.

Найдем периметр для этого случая:

$P_2 = 2 \cdot (23 + 14) = 2 \cdot 37 = 74$ см.

Ответ: 74 см.

Условие 2015-2022.

806. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки длиной $9 \text{ см}$ и $14 \text{ см}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).