Номер 8, страница 169 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 4 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 8, страница 169.

Условие 2023.

8. Точки O₁ и O₂ – центры равных касающихся окружностей (рис. 249), $BO_2 \perp O_1O_2$, $AB = 10$ см. Чему равна площадь треугольника ABO₂?

А) 10 см²

Б) 15 см²

В) 18 см²

Г) 20 см²

Рис. 249

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $r$ — радиус каждой из двух равных касающихся окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$.

Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r + r = 2r$.

Из рисунка и условия следует, что точки $A$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой. Точка $A$ лежит на окружности с центром $O_1$, поэтому отрезок $AO_1$ является радиусом: $AO_1 = r$. Длина отрезка $AO_2$ складывается из длин отрезков $AO_1$ и $O_1O_2$:

$AO_2 = AO_1 + O_1O_2 = r + 2r = 3r$.

Точка $B$ лежит на окружности с центром $O_2$, следовательно, отрезок $BO_2$ является радиусом этой окружности: $BO_2 = r$.

В условии сказано, что $BO_2 \perp O_1O_2$. Так как точки $A$, $O_1$, $O_2$ коллинеарны, это означает, что $BO_2 \perp AO_2$. Таким образом, треугольник $ABO_2$ является прямоугольным, где $\angle AO_2B = 90^\circ$. Катеты этого треугольника — $AO_2$ и $BO_2$, а гипотенуза — $AB$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABO_2$:

$AB^2 = AO_2^2 + BO_2^2$.

Подставим известные значения и выражения через $r$. Нам дано, что $AB = 10 \text{ см}$.

$10^2 = (3r)^2 + r^2$

$100 = 9r^2 + r^2$

$100 = 10r^2$

$r^2 = \frac{100}{10} = 10$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABO_2$ равна половине произведения его катетов:

$S_{ABO_2} = \frac{1}{2} \cdot AO_2 \cdot BO_2$.

Подставим выражения для катетов через $r$:

$S_{ABO_2} = \frac{1}{2} \cdot (3r) \cdot r = \frac{3}{2}r^2$.

Теперь, используя найденное значение $r^2 = 10$, вычислим площадь:

$S_{ABO_2} = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15 \text{ см}^2$.

Ответ: 15 см$^2$.

Условие 2015-2022.

Рис. 237

8. Точки $O_1$ и $O_2$ – центры равных касающихся окружностей (рис. 237), $BO_2 \perp O_1O_2, AB = 10$ см. Чему равна площадь треугольника $ABO_2$?

А) $10 \text{ см}^2$ В) $18 \text{ см}^2$

Б) $15 \text{ см}^2$ Г) $20 \text{ см}^2$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).