Номер 2, страница 169 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 4 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 2, страница 169.

Условие 2023.

2. В выпуклом $n$-угольнике 14 диагоналей. Чему равна сумма его углов?

А) 1000°Б) 800°В) 900°Г) 720°

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы найти сумму углов n-угольника, сначала необходимо определить количество его сторон (n), зная, что в нем 14 диагоналей.

1. Нахождение количества сторон (n)

Количество диагоналей (D) в выпуклом n-угольнике вычисляется по формуле:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Согласно условию задачи, $D = 14$. Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно n:

$14 = \frac{n(n-3)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$28 = n(n-3)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный квадратный вид:

$n^2 - 3n - 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета (произведение корней равно -28, сумма корней равна 3, что дает корни 7 и -4) или найти корни через дискриминант:

$D_{k} = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$

Корни уравнения:

$n_{1} = \frac{-b + \sqrt{D_{k}}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{121}}{2} = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$n_{2} = \frac{-b - \sqrt{D_{k}}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{121}}{2} = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку n — это количество сторон многоугольника, оно не может быть отрицательным числом. Следовательно, единственный подходящий корень — $n=7$. Это означает, что многоугольник является семиугольником.

2. Нахождение суммы углов

Сумма внутренних углов (S) выпуклого n-угольника находится по формуле:

$S = (n-2) \times 180^\circ$

Подставим найденное значение $n=7$ в эту формулу:

$S = (7-2) \times 180^\circ$

$S = 5 \times 180^\circ$

$S = 900^\circ$

Сумма углов данного многоугольника равна $900^\circ$, что соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) $900^\circ$

Условие 2015-2022.

2. В выпуклом $n$-угольнике 14 диагоналей. Чему равна сумма его углов?

А) $1000^\circ$

Б) $800^\circ$

В) $900^\circ$

Г) $720^\circ$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).