Номер 2, страница 168 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Теорема Чевы. Когда сделаны уроки. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 2, страница 168.

Условие 2023.

2. Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ – точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами $BC$, $AC$, $AB$ треугольника $ABC$. Докажите, что чевианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ конкурентны.

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что чевианы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ конкурентны (то есть пересекаются в одной точке), воспользуемся теоремой Чевы.

Теорема Чевы утверждает, что для точек $A_1, B_1, C_1$, лежащих соответственно на сторонах $BC, AC, AB$ треугольника $ABC$, чевианы $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$

В данной задаче точки $A_1, B_1, C_1$ являются точками касания вписанной окружности со сторонами $BC, AC$ и $AB$ соответственно. Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от вершины треугольника до точек касания равны.

Таким образом, мы имеем следующие равенства для длин отрезков:

• Из вершины $A$: $AC_1 = AB_1$
• Из вершины $B$: $BC_1 = BA_1$
• Из вершины $C$: $CA_1 = CB_1$

Теперь подставим эти соотношения в левую часть уравнения теоремы Чевы:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{AC_1}{BC_1} \cdot \frac{BA_1}{CA_1} \cdot \frac{CB_1}{AB_1} $$

Заменяем $BA_1$ на $BC_1$, $CB_1$ на $CA_1$ и $AC_1$ на $AB_1$:

$$ \frac{AB_1}{BC_1} \cdot \frac{BC_1}{CA_1} \cdot \frac{CA_1}{AB_1} $$

Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:

$$ \frac{AB_1 \cdot BC_1 \cdot CA_1}{BC_1 \cdot CA_1 \cdot AB_1} = 1 $$

Так как условие теоремы Чевы выполняется, то чевианы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

2. Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ – точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами $BC$, $AC$, $AB$ треугольника $ABC$. Докажите, что чевианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ конкурентны.