Номер 803, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 803, страница 164.

Условие 2023.

803. Окружность, построенная на диагонали $AC$ ромба $ABCD$ как на диаметре, проходит через середину стороны $AB$. Найдите углы ромба.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — данный ромб, и пусть $M$ — середина его стороны $AB$. По условию задачи, окружность, построенная на диагонали $AC$ как на диаметре, проходит через точку $M$.

По свойству окружности, любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Поскольку точка $M$ лежит на окружности с диаметром $AC$, то угол $\angle AMC$ является вписанным и опирается на диаметр. Следовательно, этот угол прямой: $\angle AMC = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В этом треугольнике отрезок $CM$ является высотой, так как он перпендикулярен стороне $AB$. По условию, точка $M$ является серединой стороны $AB$, следовательно, отрезок $CM$ является также и медианой треугольника $\triangle ABC$.

Если в треугольнике высота, проведенная из некоторой вершины, совпадает с медианой, проведенной из той же вершины, то такой треугольник является равнобедренным. В нашем случае в $\triangle ABC$ высота и медиана $CM$ проведены к стороне $AB$, значит, треугольник $\triangle ABC$ равнобедренный, и равны стороны, исходящие из вершины $C$: $AC = BC$.

По определению ромба, все его стороны равны, то есть $AB = BC = CD = DA$. Пусть длина стороны ромба равна $a$. Тогда $BC = a$ и $AB = a$. Из полученного выше равенства $AC = BC$ следует, что и диагональ $AC = a$.

Таким образом, мы имеем треугольник $\triangle ABC$, в котором все три стороны равны: $AB = BC = AC = a$. Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является равносторонним.

Углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Значит, $\angle ABC = 60^\circ$. Этот угол является одним из углов ромба $ABCD$.

Сумма соседних углов в ромбе равна $180^\circ$. Найдем второй угол ромба, $\angle DAB$: $\angle DAB = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Противоположные углы в ромбе равны, поэтому $\angle BCD = \angle DAB = 120^\circ$ и $\angle ADC = \angle ABC = 60^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Условие 2015-2022.

803. Окружность, построенная на диагонали $AC$ ромба $ABCD$ как на диаметре, проходит через середину стороны $AB$. Найдите углы ромба.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).