Номер 798, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 798, страница 164.

Условие 2023.

798. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 12 см. Большая из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, больший из которых равен 16 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой углы A и B прямые ($\angle A = \angle B = 90^\circ$), а BC и AD — основания. В трапецию вписана окружность радиуса $r = 12$ см. Меньшая боковая сторона AB перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Длина высоты в таком случае равна диаметру вписанной окружности.

1. Найдем высоту трапеции $h$:

$h = AB = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

2. Большая боковая сторона CD точкой касания K делится на два отрезка. Обозначим их длины как $x$ и $y$. По условию, больший из них равен 16 см. Пусть $x = 16$ см.

3. Проведем из вершины C высоту CE на основание AD. Получим прямоугольный треугольник CED, в котором:

• Гипотенуза $CD = x + y$.
• Катет $CE = AB = h = 24$ см.
• Катет $ED = AD - AE$. Так как ABCE — прямоугольник, $AE = BC$, следовательно, $ED = AD - BC$.

4. Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности. Если M и N — точки касания на основаниях BC и AD соответственно, то:

• $CK = CM$ и $DK = DN$.
• Поскольку трапеция прямоугольная, отрезки от вершин прямых углов до точек касания равны радиусу: $BM = AN = r = 12$ см.

Тогда основания можно выразить через отрезки $x$ и $y$. Пусть отрезок, прилежащий к вершине C, равен $y$ ($CK=y$), а прилежащий к вершине D, равен $x$ ($DK=x$).

$BC = BM + MC = r + CK = 12 + y$

$AD = AN + ND = r + DK = 12 + x$

Теперь найдем длину катета ED:

$ED = AD - BC = (12 + x) - (12 + y) = x - y$.

5. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику CED: $CD^2 = CE^2 + ED^2$.

$(x + y)^2 = h^2 + (x - y)^2$

$x^2 + 2xy + y^2 = h^2 + x^2 - 2xy + y^2$

$4xy = h^2$

$xy = \frac{h^2}{4} = (\frac{h}{2})^2 = r^2$

Подставим известные значения:

$xy = 12^2 = 144$

6. По условию, больший из отрезков равен 16 см. Пусть $x = 16$ см. Тогда:

$16 \cdot y = 144$

$y = \frac{144}{16} = 9$ см.

Таким образом, боковая сторона CD разделена на отрезки 16 см и 9 см. Ее полная длина:

$CD = 16 + 9 = 25$ см.

7. Для нахождения площади трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ нам нужна сумма оснований $a+b = BC + AD$. Воспользуемся свойством описанного четырехугольника: суммы длин его противоположных сторон равны.

$BC + AD = AB + CD$

$BC + AD = 24 + 25 = 49$ см.

8. Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB = \frac{49}{2} \cdot 24 = 49 \cdot 12 = 588$ см$^2$.

Ответ: 588 см$^2$.

Условие 2015-2022.

798. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 12 см. Большая из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, больший из которых равен 16 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).