Номер 792, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 792, страница 163.

Условие 2023.

792. Постройте треугольник, равновеликий данной трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы построить треугольник, равновеликий (то есть имеющий равную площадь) данной трапеции, можно использовать метод, основанный на преобразовании фигуры с сохранением площади.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$где $h$ — высота трапеции.

Площадь треугольника вычисляется по формуле:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H$где $a$ — сторона (основание) треугольника, а $H$ — высота, проведенная к этой стороне.

Сравнивая формулы, можно заметить, что если построить треугольник с высотой, равной высоте трапеции ($H=h$), и основанием, равным сумме оснований трапеции ($a = AD + BC$), то их площади будут равны:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot (AD + BC) \cdot h = S_{ABCD}$

На этом основан следующий алгоритм построения:

1. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.
2. Продлим большее основание $AD$ за точку $D$.
3. На продолжении прямой $AD$ отложим отрезок $DE$, равный по длине меньшему основанию $BC$. Это можно сделать с помощью циркуля: измерить длину $BC$ и отложить эту длину от точки $D$ на луче, продолжающем $AD$.
4. Соединим точку $C$ с полученной точкой $E$ отрезком прямой.

В результате мы получаем треугольник $ACE$. Докажем, что он равновелик трапеции $ABCD$.

Основанием треугольника $ACE$ является отрезок $AE$. По построению, его длина равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$. Так как мы отложили $DE = BC$, то длина основания треугольника равна $AE = AD + BC$.

Высотой треугольника $ACE$, проведенной из вершины $C$ к основанию $AE$, является перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на прямую $AE$. Поскольку прямая $AE$ совпадает с прямой, содержащей основание $AD$ трапеции, а основание $BC$ параллельно $AD$, то эта высота в точности равна высоте $h$ трапеции $ABCD$.

Следовательно, площадь треугольника $ACE$ равна:$S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (AD + BC) \cdot h$

Поскольку площадь трапеции $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$, мы видим, что $S_{\triangle ACE} = S_{ABCD}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Чтобы построить треугольник, равновеликий данной трапеции $ABCD$ (с основаниями $AD$ и $BC$), необходимо продлить основание $AD$ за точку $D$ на отрезок $DE$, равный по длине основанию $BC$. Полученный треугольник $ACE$ будет равновелик исходной трапеции.

Условие 2015-2022.

792. Постройте треугольник, равновеликий данной трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).