Номер 793, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 793, страница 163.

Условие 2023.

793. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 24 см и 40 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ – основания. По условию задачи имеем:

• меньшее основание $b = BC = 24$ см;
• большее основание $a = AD = 40$ см;
• трапеция равнобокая, значит боковые стороны равны: $AB = CD$;
• диагональ перпендикулярна боковой стороне, например, $AC \perp CD$, что означает $\angle ACD = 90^{\circ}$.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой: $S = \frac{a+b}{2}h$, где $h$ – высота трапеции. Для вычисления площади нам необходимо найти высоту $h$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Так как трапеция равнобокая, высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка. Длина одного из них, $HD$, равна полуразности оснований, а другого, $AH$, – полусумме оснований.

Найдем длины этих отрезков:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{40 - 24}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
$AH = AD - HD = 40 - 8 = 32$ см. (Альтернативный способ расчета: $AH = \frac{AD + BC}{2} = \frac{40 + 24}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$, в котором $\angle ACD = 90^{\circ}$ по условию. В этом треугольнике $CH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $AD$.

Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. В нашем случае, проекциями катетов $AC$ и $CD$ на гипотенузу $AD$ являются отрезки $AH$ и $HD$. Следовательно, получаем равенство: $CH^2 = AH \cdot HD$.

Подставим найденные значения длин отрезков $AH$ и $HD$ в эту формулу, чтобы найти высоту $h = CH$:
$h^2 = 32 \cdot 8 = 256$
$h = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь, зная высоту трапеции, мы можем вычислить ее площадь:
$S = \frac{a+b}{2}h = \frac{40 + 24}{2} \cdot 16 = \frac{64}{2} \cdot 16 = 32 \cdot 16 = 512$ см².

Ответ: 512 см².

Условие 2015-2022.

793. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 24 см и 40 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).