Номер 800, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 800, страница 164.

Условие 2023.

800. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 9 см. Большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция `ABCD`, в которой основания `BC` и `AD` параллельны (`BC \parallel AD`), а боковая сторона `AB` перпендикулярна основаниям (`AB \perp AD`). Таким образом, углы `\angle A` и `\angle B` прямые.

Из вершины тупого угла `C` проведем высоту `CH` к основанию `AD`. Так как `AB` и `CH` перпендикулярны одному и тому же основанию `AD`, они параллельны (`AB \parallel CH`). Четырехугольник `ABCH` является прямоугольником, следовательно, `AB = CH` и `AH = BC`.

Высота трапеции `CH` делится большей диагональю `BD` (диагональ `BD` больше диагонали `AC`, так как `AD > BC`) в точке `O` на отрезки `CO` и `OH` длиной 15 см и 9 см. Таким образом, полная длина высоты трапеции равна:

`h = CH = CO + OH = 15 + 9 = 24` см.

Рассмотрим треугольники `\triangle BOC` и `\triangle DOH`:

1. Основания трапеции `BC` и `AD` параллельны. Следовательно, `BC \parallel HD`.
2. `\angle CBO = \angle HDO` как накрест лежащие углы при параллельных прямых `BC` и `AD` и секущей `BD`.
3. `\angle BOC = \angle DOH` как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники `\triangle BOC` и `\triangle DOH` подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

`\frac{BC}{HD} = \frac{CO}{OH}`

Возможны два случая для соотношения `CO` и `OH`:

Случай 1: `CO = 15` см, `OH = 9` см.

Тогда `\frac{BC}{HD} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}`, откуда `BC = \frac{5}{3}HD`.

По условию, большая боковая сторона `CD` равна меньшему основанию `BC`. Значит, `CD = BC = \frac{5}{3}HD`.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `\triangle CHD`. По теореме Пифагора:

`CD^2 = CH^2 + HD^2`

Подставим известные значения и выражения:

`(\frac{5}{3}HD)^2 = 24^2 + HD^2`

`\frac{25}{9}HD^2 = 576 + HD^2`

`\frac{25}{9}HD^2 - HD^2 = 576`

`\frac{16}{9}HD^2 = 576`

`HD^2 = \frac{576 \cdot 9}{16} = 36 \cdot 9 = 324`

`HD = \sqrt{324} = 18` см.

Случай 2: `CO = 9` см, `OH = 15` см.

Тогда `\frac{BC}{HD} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}`, откуда `BC = \frac{3}{5}HD`.

По условию `CD = BC`, значит `CD = \frac{3}{5}HD`.

Применим теорему Пифагора для `\triangle CHD`:

`(\frac{3}{5}HD)^2 = 24^2 + HD^2`

`\frac{9}{25}HD^2 = 576 + HD^2`

`(\frac{9}{25} - 1)HD^2 = 576`

`-\frac{16}{25}HD^2 = 576`

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат длины не может быть отрицательным. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, верным является первый случай, где `HD = 18` см.

Теперь найдем длины оснований трапеции:

Меньшее основание: `BC = \frac{5}{3}HD = \frac{5}{3} \cdot 18 = 30` см.

Большее основание: `AD = AH + HD`. Так как `ABCH` - прямоугольник, `AH = BC = 30` см.

`AD = 30 + 18 = 48` см.

Наконец, вычислим площадь трапеции по формуле `S = \frac{a+b}{2} \cdot h`, где `a` и `b` - основания, `h` - высота:

`S = \frac{BC+AD}{2} \cdot CH = \frac{30+48}{2} \cdot 24 = \frac{78}{2} \cdot 24 = 39 \cdot 24 = 936` см².

Ответ: 936 см².

Условие 2015-2022.

800. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 9 см. Большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).