Номер 799, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 799, страница 164.

Условие 2023.

799. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Решение:

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD > BC$. Проведем из вершины тупого угла $B$ высоту $BK$ на основание $AD$. Диагональ $AC$ пересекает высоту $BK$ в точке $O$.

По условию, высота $BK$ делится на отрезки длиной 15 см и 12 см. Так как $B$ — вершина, то $BO$ — это отрезок от вершины до точки пересечения, а $OK$ — отрезок от точки пересечения до основания. Рассмотрим два возможных случая.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOK$.

1. Угол $\angle BOC$ и $\angle AOK$ равны как вертикальные.
2. Угол $\angle OBC$ и $\angle OAK$ не являются накрест лежащими. Но угол $\angle BCO$ и $\angle OAK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$, следовательно, они равны.

Таким образом, $\triangle BOC$ подобен $\triangle AOK$ по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
$\frac{BO}{OK} = \frac{BC}{AK}$

Высота трапеции $h = BK = 15 + 12 = 27$ см.

По условию, боковая сторона равна меньшему основанию: $AB = BC$. Обозначим $AB = BC = x$.

Теперь проверим, какой из отрезков высоты равен 15 см, а какой 12 см. Для этого воспользуемся прямоугольным треугольником $\triangle ABK$. По теореме Пифагора $AB^2 = AK^2 + BK^2$.

Случай 1: $BO = 15$ см, $OK = 12$ см.

Из подобия треугольников: $\frac{15}{12} = \frac{BC}{AK} \Rightarrow \frac{5}{4} = \frac{x}{AK}$, откуда $AK = \frac{4}{5}x$.

Подставим в теорему Пифагора для $\triangle ABK$:
$x^2 = (\frac{4}{5}x)^2 + 27^2$
$x^2 = \frac{16}{25}x^2 + 729$
$x^2 - \frac{16}{25}x^2 = 729$
$\frac{9}{25}x^2 = 729$
$x^2 = \frac{729 \cdot 25}{9} = 81 \cdot 25$
$x = \sqrt{81 \cdot 25} = 9 \cdot 5 = 45$ см.

Этот случай возможен.

Случай 2: $BO = 12$ см, $OK = 15$ см.

Из подобия треугольников: $\frac{12}{15} = \frac{BC}{AK} \Rightarrow \frac{4}{5} = \frac{x}{AK}$, откуда $AK = \frac{5}{4}x$.

Подставим в теорему Пифагора для $\triangle ABK$:
$x^2 = (\frac{5}{4}x)^2 + 27^2$
$x^2 = \frac{25}{16}x^2 + 729$
$x^2 - \frac{25}{16}x^2 = 729$
$-\frac{9}{16}x^2 = 729$
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат длины не может быть отрицательным. Следовательно, этот случай невозможен.

Итак, верен первый случай: $x = 45$ см.
Меньшее основание $BC = x = 45$ см.
$AK = \frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \cdot 45 = 4 \cdot 9 = 36$ см.

В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины, отсекает на большем основании отрезок, равный полуразности оснований. Если провести вторую высоту $CM$, то $AK = MD = 36$ см, а $KM = BC = 45$ см.

Тогда большее основание $AD = AK + KM + MD = 36 + 45 + 36 = 117$ см.
(Или $AD = BC + 2 \cdot AK = 45 + 2 \cdot 36 = 45 + 72 = 117$ см).

Теперь найдем площадь трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$:
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BK = \frac{117 + 45}{2} \cdot 27 = \frac{162}{2} \cdot 27 = 81 \cdot 27 = 2187$ см$^2$.

Ответ: 2187 см$^2$.

Условие 2015-2022.

799. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).