Номер 796, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 796, страница 164.

Условие 2023.

796. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно $a$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, меньшее основание $BC = a$. Так как трапеция равнобокая, то боковые стороны равны ($AB = CD$), и углы при большем основании равны ($\angle BAD = \angle CDA$).

Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle BAD$. Обозначим $\angle CAD = \alpha$. Тогда $\angle BAC = \alpha$, и весь острый угол трапеции $\angle BAD = 2\alpha$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BCA = \angle CAD = \alpha$.

В треугольнике $ABC$ углы при стороне $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный, и $AB = BC$. Так как $BC=a$, то и боковая сторона $AB=a$. В силу того, что трапеция равнобокая, $CD = AB = a$. Таким образом, $AB = BC = CD = a$.

По условию, диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным. Сумма его углов равна $180^\circ$. Углы этого треугольника: $\angle CAD = \alpha$, $\angle ACD = 90^\circ$ и $\angle CDA$. Угол $\angle CDA$ является углом при основании трапеции, поэтому $\angle CDA = \angle BAD = 2\alpha$.

Составим уравнение из суммы углов треугольника $ACD$:
$\angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$
$\alpha + 2\alpha + 90^\circ = 180^\circ$
$3\alpha = 90^\circ$
$\alpha = 30^\circ$

Таким образом, острый угол трапеции равен $2\alpha = 60^\circ$.

Теперь найдем длину большего основания $AD$. В прямоугольном треугольнике $ACD$ сторона $AD$ является гипотенузой, а $CD$ — катетом, прилежащим к углу $\angle CDA = 60^\circ$.$AD = \frac{CD}{\cos(60^\circ)} = \frac{a}{1/2} = 2a$.

Для вычисления площади трапеции найдем ее высоту $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $CHD$ гипотенуза $CD=a$, а угол $\angle CDH = 60^\circ$. Высота $h = CH$ является катетом, противолежащим этому углу.$h = CH = CD \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$.$S = \frac{a + 2a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.

Условие 2015-2022.

796. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно $a$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).