Номер 790, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 790, страница 163.

Условие 2023.

790. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если её боковые стороны равны 10 см и 17 см, а высота – 8 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция ABCD, в которой BC и AD — основания. Поскольку сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, тупые углы трапеции ($\angle B$ и $\angle C$) должны находиться при меньшем основании, которым, следовательно, является BC.

По условию, биссектрисы тупых углов $\angle B$ и $\angle C$ пересекаются в точке K, которая лежит на другом основании, то есть на AD.

Рассмотрим треугольник ABK. Прямые BC и AD параллельны, а BK является секущей. Следовательно, углы $\angle CKB$ и $\angle BKA$ равны как накрест лежащие. Так как BK — биссектриса угла $\angle B$, то $\angle ABK = \angle KBC$. Из этого следует, что $\angle ABK = \angle BKA$. Таким образом, треугольник ABK является равнобедренным с основанием BK, а это значит, что сторона $AK$ равна боковой стороне $AB$.
$AK = AB = 10$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник CDK. Прямые BC и AD параллельны, а CK является секущей. Углы $\angle BCK$ и $\angle CKD$ равны как накрест лежащие. Так как CK — биссектриса угла $\angle C$, то $\angle BCK = \angle DCK$. Из этого следует, что $\angle DCK = \angle CKD$. Таким образом, треугольник CDK является равнобедренным с основанием CK, а это значит, что сторона $DK$ равна боковой стороне $CD$.
$DK = CD = 17$ см.

Поскольку точка K лежит на основании AD, то длина этого основания равна сумме длин отрезков AK и DK.
$AD = AK + DK = 10 + 17 = 27$ см.

Для вычисления площади трапеции необходимо найти длину второго основания BC. Проведем из вершин B и C высоты BH и CM на основание AD. По условию, высота трапеции $h = BH = CM = 8$ см.

В прямоугольном треугольнике ABH найдем катет AH по теореме Пифагора:
$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

В прямоугольном треугольнике CDM найдем катет MD по теореме Пифагора:
$MD = \sqrt{CD^2 - CM^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Основание AD состоит из трех отрезков: $AD = AH + HM + MD$. Четырехугольник HBCM является прямоугольником, поэтому $HM = BC$.
Подставим известные значения в выражение для AD:
$27 = 6 + BC + 15$
$27 = 21 + BC$
$BC = 27 - 21 = 6$ см.

Теперь мы знаем длины обоих оснований ($a = AD = 27$ см, $b = BC = 6$ см) и высоту ($h = 8$ см). Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$
$S = \frac{27 + 6}{2} \cdot 8 = \frac{33}{2} \cdot 8 = 33 \cdot 4 = 132$ см².

Ответ: 132 см².

Условие 2015-2022.

790. Докажите, что прямая, которая проходит через середину средней линии трапеции и пересекает её основания, разбивает данную трапецию на два равновеликих многоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).