Номер 795, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 795, страница 164.

Условие 2023.

795. Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 48 см, а средняя линия трапеции – 25 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$, диагоналями $d_1$ и $d_2$, и средней линией $m$.

По условию задачи:

• Диагонали перпендикулярны: $d_1 \perp d_2$.
• Длина одной из диагоналей $d_1 = 48$ см.
• Длина средней линии $m = 25$ см.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований:

$m = \frac{a+b}{2}$

Отсюда можем найти сумму оснований трапеции:

$a+b = 2m = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Для нахождения площади воспользуемся следующим методом. Проведем через одну из вершин меньшего основания (например, C) прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением большего основания AD в точке E. Получим треугольник ACE.

Четырехугольник BCED является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны (BC || DE, так как лежат на параллельных прямых; CE || BD по построению). Следовательно, $DE = BC$ и $CE = BD = d_2$.

Рассмотрим треугольник ACE:

• Сторона $AC = d_1 = 48$ см.
• Сторона $CE = BD = d_2$.
• Сторона $AE = AD + DE = AD + BC = a+b = 50$ см.

Поскольку $CE \parallel BD$, а $AC$ — секущая, то угол между $AC$ и $CE$ равен углу между $AC$ и $BD$. По условию, диагонали трапеции перпендикулярны, значит, $\angle ACE = 90^\circ$. Таким образом, треугольник ACE является прямоугольным.

Применим к прямоугольному треугольнику ACE теорему Пифагора:

$AC^2 + CE^2 = AE^2$

$d_1^2 + d_2^2 = (a+b)^2$

Подставим известные значения:

$48^2 + d_2^2 = 50^2$

$2304 + d_2^2 = 2500$

$d_2^2 = 2500 - 2304$

$d_2^2 = 196$

$d_2 = \sqrt{196} = 14$ см.

Площадь любого выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Подставим значения длин диагоналей:

$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14 = 24 \cdot 14 = 336$ см².

Ответ: 336 см².

Условие 2015-2022.

795. Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 48 см, а средняя линия трапеции – 25 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).