Номер 797, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 797, страница 164.

Условие 2023.

797. В равнобокую трапецию вписана окружность. Одна из её боковых сторон точкой касания делится на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а боковые стороны как $c$.

По условию, точка касания делит одну из боковых сторон на отрезки длиной 4 см и 9 см. Длина боковой стороны равна сумме длин этих отрезков: $c = 4 \text{ см} + 9 \text{ см} = 13 \text{ см}$. Так как трапеция равнобокая, обе боковые стороны равны 13 см.

Для любого четырехугольника, в который можно вписать окружность (описанного четырехугольника), суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это свойство записывается так: $a + b = c + c = 2c$. Подставив найденную длину боковой стороны, получим сумму оснований: $a + b = 2 \cdot 13 = 26 \text{ см}$.

Площадь трапеции находится по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить высоту $h$. Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$, где $r$ — её радиус.

Для нахождения радиуса воспользуемся свойством высоты в прямоугольном треугольнике. Рассмотрим треугольник, образованный концами одной из боковых сторон (например, CD) и центром вписанной окружности O. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов, поэтому CO и DO — биссектрисы углов C и D трапеции. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$: $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Следовательно, сумма углов в треугольнике COD, прилежащих к стороне CD, равна: $\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle C + \frac{1}{2}\angle D = \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Это означает, что третий угол треугольника COD, $\angle COD$, равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник COD — прямоугольный.

Пусть K — точка касания окружности со стороной CD. Радиус OK, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной CD. Следовательно, OK является высотой прямоугольного треугольника COD, проведенной из вершины прямого угла O к гипотенузе CD. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, её квадрат равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу. Эти отрезки — те самые, что даны в условии: 4 см и 9 см. $r^2 = OK^2 = 4 \cdot 9 = 36$. Отсюда находим радиус: $r = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

Теперь находим высоту трапеции: $h = 2r = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}$.

Наконец, вычисляем площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156 \text{ см}^2$.

Ответ: 156 см².

Условие 2015-2022.

797. В равнобокую трапецию вписана окружность. Одна из её боковых сторон точкой касания делится на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).