Номер 791, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 791, страница 163.

Условие 2023.

791. Постройте равновеликий данной трапеции:

1) параллелограмм, отличный от прямоугольника;

2) прямоугольник.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

1) параллелограмм, отличный от прямоугольника;

Равновеликие фигуры — это фигуры с одинаковой площадью. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{трапеции} = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Выражение $\frac{a+b}{2}$ представляет собой длину средней линии трапеции. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Таким образом, чтобы построить параллелограмм, равновеликий данной трапеции, достаточно построить параллелограмм, у которого основание равно средней линии трапеции, а высота — высоте трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Алгоритм построения:

1. Нахождение средней линии и высоты трапеции.
   • С помощью циркуля и линейки находим середины боковых сторон трапеции $AB$ и $CD$. Назовем их $M$ и $N$. Отрезок $MN$ является средней линией трапеции.
   • Определяем высоту $h$ трапеции, которая равна расстоянию между прямыми, содержащими основания $AD$ и $BC$. Для этого можно опустить перпендикуляр из любой точки одного основания на другое, например, из точки $B$ на прямую $AD$.
2. Построение параллелограмма.
   • Проводим произвольную прямую $l$.
   • На прямой $l$ откладываем отрезок $PQ$, длина которого равна длине средней линии $MN$.
   • Строим прямую $l'$, параллельную прямой $l$, на расстоянии, равном высоте трапеции $h$.
   • На прямой $l'$ выбираем произвольную точку $S$. Чтобы итоговая фигура не оказалась прямоугольником, нужно выбрать $S$ так, чтобы отрезок $PS$ не был перпендикулярен отрезку $PQ$.
   • Через точку $Q$ проводим прямую, параллельную отрезку $PS$.
   • Точка пересечения построенной прямой с прямой $l'$ является четвертой вершиной параллелограмма. Обозначим ее $R$.

Полученный четырехугольник $PQRS$ является параллелограммом, так как по построению его противоположные стороны попарно параллельны ($PQ \parallel SR$ и $PS \parallel QR$). Основание $PQ$ этого параллелограмма равно средней линии трапеции $MN$, а его высота равна высоте трапеции $h$. Следовательно, его площадь $S_{PQRS} = PQ \cdot h = MN \cdot h = S_{ABCD}$.

Ответ: Построенный по указанному методу параллелограмм $PQRS$ равновелик данной трапеции.

2) прямоугольник.

Аналогично первому пункту, для построения прямоугольника, равновеликого данной трапеции, мы построим прямоугольник, стороны которого равны средней линии и высоте трапеции. Его площадь будет равна $m \cdot h$, что совпадает с площадью трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Алгоритм построения:

1. Нахождение средней линии и высоты трапеции.
   • Находим длину средней линии $m$, построив отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон $AB$ и $CD$.
   • Определяем высоту трапеции $h$ как перпендикулярное расстояние между основаниями.
2. Построение прямоугольника.
   • Проводим произвольную прямую и откладываем на ней отрезок $PQ$, равный по длине средней линии $m$.
   • В точке $P$ с помощью циркуля и линейки восстанавливаем перпендикуляр к прямой $PQ$.
   • На этом перпендикуляре откладываем отрезок $PS$, равный по длине высоте трапеции $h$.
   • Достраиваем прямоугольник $PQRS$. Для этого проводим через точку $S$ прямую, параллельную $PQ$, и через точку $Q$ — прямую, параллельную $PS$. Точка их пересечения $R$ будет четвертой вершиной.

Построенный четырехугольник $PQRS$ является прямоугольником по построению. Длины его смежных сторон равны $PQ = m$ и $PS = h$. Его площадь $S_{PQRS} = PQ \cdot PS = m \cdot h$, что равно площади исходной трапеции.

Ответ: Построенный по указанному методу прямоугольник, стороны которого равны средней линии и высоте данной трапеции, равновелик ей.

Условие 2015-2022.

791. Постройте равновеликий данной трапеции:

1) параллелограмм, отличный от прямоугольника;

2) прямоугольник.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).