Номер 784, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 784, страница 163.

Условие 2023.

784. Боковая сторона равнобокой трапеции равна $20\sqrt{3}$ см и образует с основанием угол $60^\circ$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Обозначим её основания как $a$ и $b$, боковую сторону как $c$, а высоту как $h$.

По условию задачи нам дано:
Боковая сторона $c = 20\sqrt{3}$ см.
Угол при основании $\alpha = 60^\circ$.

1. Нахождение высоты трапеции.
Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. В результате образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции $c$, одним из катетов — высота $h$, а угол между гипотенузой и другим катетом (частью большего основания) равен $60^\circ$.
Высоту можно найти через синус этого угла:
$h = c \cdot \sin(\alpha)$
$h = 20\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ)$
Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$h = 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{20 \cdot 3}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

2. Использование свойства описанной трапеции.
Основное свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$a + b = c + c = 2c$
Подставим значение боковой стороны:
$a + b = 2 \cdot 20\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление площади трапеции.
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$
Мы уже нашли сумму оснований $(a+b)$ и высоту $h$. Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{40\sqrt{3}}{2} \cdot 30$
$S = 20\sqrt{3} \cdot 30 = 600\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $600\sqrt{3}$ см$^2$.

Условие 2015-2022.

784. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если её боковые стороны равны 17 см и 25 см, а высота – 15 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).