Номер 782, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 782, страница 163.

Условие 2023.

782. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$). Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle DAB$, следовательно, $\angle DAC = \angle CAB$. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BCA = \angle DAC$. Отсюда следует, что $\angle CAB = \angle BCA$, а значит, треугольник $ABC$ является равнобедренным с $AB = BC$. Поскольку трапеция $ABCD$ равнобокая, то $AB = CD$. Таким образом, мы установили, что боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию: $AB = BC = CD$.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, которую диагональ $AC$ пересекает в точке $K$. В треугольнике $ABC$ отрезок $MK$ соединяет середину стороны $AB$ с точкой на стороне $AC$ и параллелен $BC$, значит, $MK$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, $MK = \frac{1}{2}BC$. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $KN$ является средней линией, и $KN = \frac{1}{2}AD$.

По условию, диагональ делит среднюю линию на отрезки длиной 6 см и 12 см. Так как $AD > BC$, то и $KN > MK$. Следовательно, $MK = 6$ см и $KN = 12$ см. Теперь найдём длины оснований и боковой стороны: $BC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 6 = 12$ см. $AD = 2 \cdot KN = 2 \cdot 12 = 24$ см. Боковая сторона $AB = BC = 12$ см.

Для вычисления площади трапеции необходимо найти её высоту $h$. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции длина отрезка $AH$, который высота отсекает на большем основании, равна полуразности оснований: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{24 - 12}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдём высоту $h = BH$: $h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108}$ см. Упростим корень: $h = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь трапеции вычисляется как произведение её средней линии на высоту. Длина средней линии $MN = MK + KN = 6 + 12 = 18$ см. $S = MN \cdot h = 18 \cdot 6\sqrt{3} = 108\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $108\sqrt{3}$ см$^2$.

Условие 2015-2022.

782. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).