Номер 780, страница 162 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 780, страница 162.

Условие 2023.

780. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 238 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 238

a

$40$, $60$, $45^\circ$, $45^\circ$

б

$32$, $48$, $10$, $60^\circ$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

а

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

В данной трапеции основания равны $a = 40$ см и $b = 60$ см. Углы при большем основании равны $45^\circ$, следовательно, трапеция является равнобедренной.

Проведём две высоты из вершин меньшего основания к большему. Они разделят трапецию на центральный прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника по бокам. Основания этих треугольников можно найти, вычтя из длины большего основания длину меньшего и разделив результат на 2:

$x = \frac{60 - 40}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Один его катет — это отрезок $x = 10$ см, а второй катет — это высота трапеции $h$. Острый угол при основании равен $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике с углом $45^\circ$ катеты равны, поэтому высота трапеции $h$ также равна 10 см.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{40 + 60}{2} \cdot 10 = \frac{100}{2} \cdot 10 = 50 \cdot 10 = 500$ см².

Ответ: $500$ см².

б

Площадь трапеции вычисляется по той же формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$.

Основания трапеции равны $a = 32$ см и $b = 48$ см. Дана боковая сторона длиной 10 см и прилежащий к ней угол при основании $60^\circ$.

Для нахождения высоты $h$ проведём её из вершины тупого угла к большему основанию. В результате образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это боковая сторона трапеции (10 см), а один из острых углов равен $60^\circ$. Высота трапеции $h$ является катетом, противолежащим этому углу.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике, высота $h$ равна произведению гипотенузы на синус противолежащего угла:

$h = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная высоту, вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{32 + 48}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{80}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 40 \cdot 5\sqrt{3} = 200\sqrt{3}$ см².

Ответ: $200\sqrt{3}$ см².

Условие 2015-2022.

780. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 226 (размеры даны в сантиметрах).

Рис. 226

a

Трапеция с верхним основанием 40, нижним основанием 60, и углами при нижнем основании $45^\circ$ и $45^\circ$.

б

Трапеция с верхним основанием 32, нижним основанием 48, боковой стороной 10 и углом при нижнем основании $60^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).