Номер 786, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 786, страница 163.

Условие 2023.

786. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8 см, а острый угол – $45^\circ$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям $AD$ и $BC$. Тогда $AB$ является высотой трапеции, $h = AB = 8$ см. Угол $\angle D$ — острый, и по условию $\angle D = 45^\circ$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Так как $ABCD$ — прямоугольная трапеция, то $ABCH$ — прямоугольник, следовательно, $CH = AB = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. В нем катет $CH = 8$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle D = 45^\circ$. Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, другой острый угол $\angle HCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle CHD$ является равнобедренным, и его катеты равны: $HD = CH = 8$ см.

Найдем длину большей боковой стороны $CD$ по теореме Пифагора из треугольника $\triangle CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2$ $CD^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$ $CD = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

По условию в трапецию можно вписать окружность. Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции $ABCD$ это означает: $AB + CD = BC + AD$

Подставим известные значения длин боковых сторон: $8 + 8\sqrt{2} = BC + AD$ Таким образом, сумма оснований трапеции равна $8 + 8\sqrt{2}$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{BC+AD}{2} \cdot h$ Подставим в формулу найденную сумму оснований и высоту: $S = \frac{8 + 8\sqrt{2}}{2} \cdot 8 = (4 + 4\sqrt{2}) \cdot 8 = 32 + 32\sqrt{2}$ см$^2$.

Вынесем общий множитель за скобки: $S = 32(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $32(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Условие 2015-2022.

786. Боковая сторона равнобокой трапеции равна $20\sqrt{3}$ см и образует с основанием угол $60^\circ$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).