Номер 789, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 789, страница 163.

Условие 2023.

789. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если её боковые стороны равны 17 см и 25 см, а высота – 15 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD || BC$. Боковые стороны $AB = 17$ см, $CD = 25$ см, а высота $h = 15$ см. По условию, углы при большем основании $AD$ ( $\angle A$ и $\angle D$ ) — острые.

Обозначим точку пересечения биссектрис углов $\angle A$ и $\angle D$ как $K$. По условию задачи, точка $K$ принадлежит другому основанию, то есть лежит на отрезке $BC$.

Рассмотрим биссектрису $AK$ угла $\angle A$. По определению биссектрисы, $\angle BAK = \angle KAD$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC || AD$), то углы $\angle KAD$ и $\angle BKA$ являются накрест лежащими при секущей $AK$. Следовательно, $\angle KAD = \angle BKA$.

Из равенств $\angle BAK = \angle KAD$ и $\angle KAD = \angle BKA$ следует, что $\angle BAK = \angle BKA$. Это означает, что треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$. Таким образом, боковая сторона $BK$ равна стороне $AB$: $BK = AB = 17$ см.

Аналогично рассмотрим биссектрису $DK$ угла $\angle D$. По определению биссектрисы, $\angle CDK = \angle KDA$.

Так как $BC || AD$, углы $\angle KDA$ и $\angle CKD$ являются накрест лежащими при секущей $DK$. Следовательно, $\angle KDA = \angle CKD$.

Из этого следует, что $\angle CDK = \angle CKD$. Значит, треугольник $CDK$ является равнобедренным с основанием $DK$. Таким образом, сторона $CK$ равна стороне $CD$: $CK = CD = 25$ см.

Теперь мы можем найти длину верхнего (меньшего) основания $BC$. Она равна сумме длин отрезков $BK$ и $CK$:

$BC = BK + CK = 17 + 25 = 42$ см.

Для нахождения площади трапеции нам также необходима длина нижнего (большего) основания $AD$. Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH_1$ и $CH_2$ на основание $AD$. Длина этих высот равна высоте трапеции: $BH_1 = CH_2 = h = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH_1$. По теореме Пифагора найдем длину катета $AH_1$:

$AH_1 = \sqrt{AB^2 - BH_1^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDH_2$. По теореме Пифагора найдем длину катета $DH_2$:

$DH_2 = \sqrt{CD^2 - CH_2^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{(25-15)(25+15)} = \sqrt{10 \cdot 40} = \sqrt{400} = 20$ см.

Четырехугольник $H_1BCH_2$ является прямоугольником, так как $BH_1 \perp AD$, $CH_2 \perp AD$ и $BC || AD$. Следовательно, длина отрезка $H_1H_2$ равна длине основания $BC$: $H_1H_2 = BC = 42$ см.

Длина нижнего основания $AD$ равна сумме длин отрезков $AH_1$, $H_1H_2$ и $DH_2$:

$AD = AH_1 + H_1H_2 + DH_2 = 8 + 42 + 20 = 70$ см.

Теперь, зная длины обоих оснований и высоту, мы можем вычислить площадь трапеции по формуле:

$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$

$S = \frac{42 + 70}{2} \cdot 15 = \frac{112}{2} \cdot 15 = 56 \cdot 15 = 840$ см$^2$.

Ответ: 840 см$^2$.

Условие 2015-2022.

789. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 28 см, а острый угол – $30^\circ$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).