Номер 788, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 788, страница 163.

Условие 2023.

788. Докажите, что прямая, которая проходит через середину средней линии трапеции и пересекает её основания, разбивает данную трапецию на два равновеликих многоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, причём $BC \parallel AD$. Пусть $MN$ — её средняя линия, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. По условию, точка $O$ — середина средней линии $MN$. Через точку $O$ проведена прямая, которая пересекает основания трапеции в точках $P$ (на $BC$) и $Q$ (на $AD$). Эта прямая разбивает трапецию $ABCD$ на два многоугольника: $ABPQ$ и $PCDQ$. Оба этих многоугольника также являются трапециями, так как их стороны $BP$ и $AQ$ (для первой) и $PC$ и $QD$ (для второй) лежат на параллельных прямых. Требуется доказать, что площади этих двух трапеций равны, то есть они являются равновеликими: $S_{ABPQ} = S_{PCDQ}$.

Доказательство:

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Трапеции $ABPQ$ и $PCDQ$ имеют одинаковую высоту, равную высоте исходной трапеции $ABCD$. Обозначим эту высоту через $h$. Таким образом, для доказательства равенства их площадей достаточно доказать, что суммы длин их оснований равны:

$BP + AQ = PC + QD$

1. Введём вспомогательные точки: $K$ — середина основания $BC$, и $L$ — середина основания $AD$. Докажем, что середина $O$ средней линии $MN$ совпадает с серединой отрезка $KL$, соединяющего середины оснований. Для этого воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат выбрано произвольно, а радиус-векторы вершин трапеции равны $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

Тогда радиус-вектор точки $M$ (середины $AB$) равен $\vec{m} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$, а радиус-вектор точки $N$ (середины $CD$) равен $\vec{n} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$.

Радиус-вектор точки $O$ (середины $MN$):

$\vec{o} = \frac{\vec{m}+\vec{n}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} + \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}\right) = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$

Теперь найдём радиус-вектор середины отрезка $KL$. Радиус-вектор точки $K$ (середины $BC$) равен $\vec{k} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$, а радиус-вектор точки $L$ (середины $AD$) равен $\vec{l} = \frac{\vec{a}+\vec{d}}{2}$.

Радиус-вектор середины отрезка $KL$:

$\frac{\vec{k}+\vec{l}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} + \frac{\vec{a}+\vec{d}}{2}\right) = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$

Поскольку радиус-векторы совпадают, точка $O$ является также и серединой отрезка $KL$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OKP$ и $\triangle OLQ$.

• $OK = OL$, так как $O$ — середина отрезка $KL$.
• $\angle KOP = \angle LOQ$ как вертикальные углы.
• Поскольку $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы при секущей $PQ$ равны: $\angle OPK = \angle OQL$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому и третьи углы треугольников равны: $\angle OKP = \angle OLQ$. Таким образом, треугольники $\triangle OKP$ и $\triangle OLQ$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

Из равенства треугольников следует и равенство соответствующих сторон: $PK = QL$.

3. Используем полученное равенство $PK = QL$ для доказательства равенства сумм оснований. Выразим длины оснований малых трапеций через середины оснований $K$ и $L$. Для определённости будем считать, что точка $P$ лежит между $B$ и $K$, а точка $Q$ — между $L$ и $D$.

• $BP = BK - PK$
• $PC = KC + PK = BK + PK$ (так как $K$ — середина $BC$, то $KC=BK$)
• $AQ = AL - QL$ (так как $Q$ лежит между $A$ и $L$ в данном случае, то $AQ=AL-QL$, но из рисунка к конгруэнтности следует, что $Q$ и $P$ по разные стороны от $KL$, так что $AQ = AL+LQ$) - давайте более общем виде $AQ = AL \pm QL$ и $PC = KC \pm PK$.

Рассмотрим сумму оснований первой трапеции: $BP + AQ = (BK - PK) + (AL + LQ)$.

Рассмотрим сумму оснований второй трапеции: $PC + QD = (KC + PK) + (LD - LQ) = (BK + PK) + (AL - LQ)$.

Сравним эти две суммы. Нам нужно доказать, что $(BK - PK) + (AL + LQ) = (BK + PK) + (AL - LQ)$.

$BK - PK + AL + LQ = BK + PK + AL - LQ$

$- PK + LQ = PK - LQ$

$2 \cdot LQ = 2 \cdot PK \implies LQ = PK$

Это равенство мы уже доказали из конгруэнтности треугольников. Следовательно, суммы оснований действительно равны: $BP + AQ = PC + QD$.

4. Поскольку трапеции $ABPQ$ и $PCDQ$ имеют равные высоты и равные суммы оснований, их площади равны. Таким образом, прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая её основания, разбивает трапецию на два равновеликих многоугольника.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

788. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8 см, а острый угол – $45^\circ$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).