Номер 783, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 783, страница 163.

Условие 2023.

Трапеции.

783. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 17 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где BC и AD — основания, а одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой. Обозначим меньшее основание $BC = a = 9$ см, а большее основание $AD = b = 17$ см.

Пусть боковая сторона AB перпендикулярна основаниям, тогда $AB = h$, и углы $ \angle A $ и $ \angle B $ равны $90^\circ$. В этом случае угол $ \angle D $ будет острым, а угол $ \angle C $ — тупым. По условию, диагональ является биссектрисой тупого угла. Следовательно, диагональ AC делит угол C пополам: $ \angle BCA = \angle ACD $.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то накрест лежащие углы при секущей AC равны: $ \angle BCA = \angle CAD $.

Из двух полученных равенств ($ \angle BCA = \angle ACD $ и $ \angle BCA = \angle CAD $) следует, что $ \angle ACD = \angle CAD $. Это означает, что треугольник ACD является равнобедренным с основанием AC. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $ CD = AD $.

Так как $ AD = 17 $ см, то и боковая сторона $ CD = 17 $ см.

Для вычисления площади трапеции необходимо найти ее высоту $h$. Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. Так как трапеция прямоугольная, $h = CH = AB$. Отрезок AH равен меньшему основанию BC, то есть $ AH = 9 $ см.

Теперь найдем длину отрезка HD на большем основании:$ HD = AD - AH = 17 - 9 = 8 $ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. В нем известны гипотенуза $ CD = 17 $ см и катет $ HD = 8 $ см. Найдем второй катет CH, который является высотой трапеции, по теореме Пифагора:$ CD^2 = CH^2 + HD^2 $$ h^2 = CD^2 - HD^2 $$ h^2 = 17^2 - 8^2 $$ h^2 = 289 - 64 $$ h^2 = 225 $$ h = \sqrt{225} = 15 $ см.

Теперь, зная оба основания и высоту, можем вычислить площадь трапеции по формуле:$ S = \frac{a+b}{2} \cdot h $$ S = \frac{9+17}{2} \cdot 15 = \frac{26}{2} \cdot 15 = 13 \cdot 15 = 195 $ см².

Ответ: 195 см².

Условие 2015-2022.

783. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 17 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).