Номер 794, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 794, страница 163.

Условие 2023.

794. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 15 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около неё, равен 12,5 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию, трапеция равнобокая, значит $ AB = CD = 15 $ см. Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, следовательно, $ \angle ACD = 90^\circ $. Радиус описанной около трапеции окружности $ R = 12,5 $ см.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для треугольника ACD. Так как $ \angle ACD $ — прямой, то он опирается на диаметр описанной окружности. Этим диаметром является гипотенуза треугольника ACD, то есть большее основание трапеции AD.

Найдем длину большего основания AD: $ AD = 2R = 2 \cdot 12,5 = 25 $ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. По теореме Пифагора найдем длину диагонали AC: $ AC^2 + CD^2 = AD^2 $ $ AC^2 + 15^2 = 25^2 $ $ AC^2 + 225 = 625 $ $ AC^2 = 625 - 225 = 400 $ $ AC = \sqrt{400} = 20 $ см.

Проведем высоту трапеции CH из вершины C на основание AD. Эта высота является также высотой прямоугольного треугольника ACD, проведенной к гипотенузе. Площадь треугольника ACD можно вычислить двумя способами: 1. Через катеты: $ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150 $ см². 2. Через гипотенузу и высоту к ней: $ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH $.

Приравняв оба выражения для площади, найдем высоту трапеции CH: $ \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot CH = 150 $ $ CH = \frac{150 \cdot 2}{25} = 12 $ см.

Теперь найдем длину меньшего основания BC. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. По теореме Пифагора найдем длину отрезка HD: $ CH^2 + HD^2 = CD^2 $ $ 12^2 + HD^2 = 15^2 $ $ 144 + HD^2 = 225 $ $ HD^2 = 225 - 144 = 81 $ $ HD = \sqrt{81} = 9 $ см.

В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины большего основания, равен полуразности оснований: $ HD = \frac{AD - BC}{2} $ Подставим известные значения: $ 9 = \frac{25 - BC}{2} $ $ 18 = 25 - BC $ $ BC = 25 - 18 = 7 $ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления площади трапеции: большее основание $ AD = 25 $ см, меньшее основание $ BC = 7 $ см и высота $ h = CH = 12 $ см. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h $ $ S = \frac{25 + 7}{2} \cdot 12 = \frac{32}{2} \cdot 12 = 16 \cdot 12 = 192 $ см².

Ответ: 192 см².

Условие 2015-2022.

794. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 15 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около неё, равен 12,5 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).