Номер 801, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 801, страница 164.

Условие 2023.

801. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, точка $M$ – середина стороны $AB$. Найдите площадь треугольника $CMD$, если площадь данной трапеции равна $S$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), а точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Площадь трапеции равна $S$. Требуется найти площадь треугольника $CMD$.

Для решения этой задачи можно применить два основных подхода.

Способ 1. Через площади составляющих треугольников

Обозначим длины оснований трапеции $AD = a$ и $BC = b$, а высоту трапеции — $h$. Площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2}h$.

Площадь трапеции можно представить как сумму площадей трех треугольников: $\triangle AMD$, $\triangle BMC$ и $\triangle CMD$.$S_{ABCD} = S_{\triangle AMD} + S_{\triangle BMC} + S_{\triangle CMD}$.Из этого соотношения мы можем выразить искомую площадь треугольника $\triangle CMD$:$S_{\triangle CMD} = S_{ABCD} - (S_{\triangle AMD} + S_{\triangle BMC})$.

Теперь найдем площади треугольников $\triangle AMD$ и $\triangle BMC$. Поскольку $M$ является серединой стороны $AB$, то расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ (что является высотой треугольника $\triangle AMD$, опущенной из вершины $M$) и расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ (высота $\triangle BMC$ из вершины $M$) будут равны и составят половину высоты трапеции, то есть $\frac{h}{2}$.

Площадь треугольника $\triangle AMD$, имеющего основание $AD=a$ и высоту $\frac{h}{2}$, равна:$S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$.

Площадь треугольника $\triangle BMC$, имеющего основание $BC=b$ и высоту $\frac{h}{2}$, равна:$S_{\triangle BMC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{bh}{4}$.

Сумма площадей этих двух треугольников составляет:$S_{\triangle AMD} + S_{\triangle BMC} = \frac{ah}{4} + \frac{bh}{4} = \frac{(a+b)h}{4}$.

Сравнивая это выражение с формулой площади трапеции $S = \frac{(a+b)h}{2}$, мы видим, что сумма площадей треугольников $\triangle AMD$ и $\triangle BMC$ равна половине площади трапеции:$S_{\triangle AMD} + S_{\triangle BMC} = \frac{1}{2} S$.

Наконец, подставляем найденное значение в выражение для площади $\triangle CMD$:$S_{\triangle CMD} = S - \frac{S}{2} = \frac{S}{2}$.

Способ 2. С помощью дополнительного построения

Продлим отрезок $CM$ за точку $M$ до пересечения с прямой $AD$. Точку пересечения назовем $K$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle AMK$. В них:
1. $AM = MB$, так как $M$ — середина $AB$ по условию.
2. $\angle CMB = \angle AMK$ как вертикальные углы.
3. $\angle CBM = \angle KAM$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AK$ ($AD$) и секущей $AB$.

Таким образом, $\triangle BMC \cong \triangle AMK$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.Из равенства треугольников следует, во-первых, равенство их площадей: $S_{\triangle BMC} = S_{\triangle AMK}$, и, во-вторых, равенство соответствующих сторон: $CM = MK$.

Площадь трапеции $S_{ABCD}$ можно представить в виде суммы площадей четырехугольника $AMCD$ и треугольника $\triangle BMC$:$S_{ABCD} = S_{AMCD} + S_{\triangle BMC}$.

Поскольку $S_{\triangle BMC} = S_{\triangle AMK}$, мы можем выполнить замену в предыдущем равенстве:$S_{ABCD} = S_{AMCD} + S_{\triangle AMK}$.Сумма площадей $S_{AMCD}$ и $S_{\triangle AMK}$ в точности равна площади большого треугольника $\triangle CKD$.Следовательно, площадь трапеции равна площади этого треугольника: $S_{ABCD} = S_{\triangle CKD} = S$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CKD$. Отрезок $DM$ соединяет вершину $D$ с точкой $M$. Так как $CM = MK$, точка $M$ является серединой стороны $CK$. Значит, $DM$ — это медиана треугольника $\triangle CKD$.

Как известно, медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (то есть треугольника с равными площадями).Следовательно, $S_{\triangle CMD} = \frac{1}{2} S_{\triangle CKD}$.

Подставляя ранее найденное равенство $S_{\triangle CKD} = S$, получаем окончательный результат:$S_{\triangle CMD} = \frac{1}{2} S$.

Ответ: $\frac{S}{2}$.

Условие 2015-2022.

801. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, точка $M$ – середина стороны $AB$. Найдите площадь треугольника $CMD$, если площадь данной трапеции равна $S$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).