Номер 3, страница 166 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Равносоставленные и равновеликие многоугольники. Когда сделаны уроки. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 3, страница 166.

Условие 2023.

3. В четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABC$ и $ADC$ прямые, а стороны $AB$ и $BC$ равны (рис. 245). Известно, что $BH \perp AD$ и $BH = 1$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

Рис. 245

Решение 6 (2023).

Для решения задачи воспользуемся методом поворота.

Выполним поворот треугольника $ABH$ вокруг точки $B$ на угол $90°$ против часовой стрелки. Поскольку по условию $AB = BC$ и $\angle ABC = 90°$, при таком повороте точка $A$ перейдет в точку $C$. Пусть точка $H$ при этом повороте перейдет в точку $H'$. Тогда треугольник $ABH$ перейдет в треугольник $CBH'$, и эти треугольники будут равны ($\triangle ABH \cong \triangle CBH'$).

Из равенства треугольников следуют несколько важных фактов:

• Площади треугольников равны: $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle CBH'}$.
• Соответствующие стороны равны: $BH = BH' = 1$ и $AH = CH'$.
• Соответствующие углы равны: $\angle BHA = \angle BH'C = 90°$ и $\angle BAH = \angle BCH'$.

Рассмотрим сумму углов в исходном четырехугольнике $ABCD$. Сумма углов любого четырехугольника равна $360°$. $$ \angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360° $$ По условию $\angle ABC = 90°$ и $\angle ADC = 90°$. Подставив эти значения, получаем: $$ \angle DAB + 90° + \angle BCD + 90° = 360° $$ $$ \angle DAB + \angle BCD = 180° $$

Поскольку точка $H$ лежит на стороне $AD$, угол $\angle DAB$ совпадает с углом $\angle BAH$. Ранее мы установили, что $\angle BAH = \angle BCH'$. Следовательно, $\angle DAB = \angle BCH'$. Заменим $\angle DAB$ в последнем равенстве на $\angle BCH'$: $$ \angle BCH' + \angle BCD = 180° $$ Это равенство означает, что лучи $CH'$ и $CD$ являются продолжением друг друга и образуют прямую линию. Таким образом, точки $D$, $C$ и $H'$ лежат на одной прямой.

Теперь найдем площадь четырехугольника $ABCD$. Представим ее как сумму площадей трех треугольников (это возможно, так как $H$ лежит на $AD$): $$ S_{ABCD} = S_{\triangle ABH} + S_{\triangle BHD} + S_{\triangle BCD} $$ Мы знаем, что $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle CBH'}$, поэтому можем сделать замену: $$ S_{ABCD} = S_{\triangle CBH'} + S_{\triangle BHD} + S_{\triangle BCD} $$ Поскольку точки $D$, $C$, $H'$ лежат на одной прямой, сумма площадей треугольников $\triangle BCD$ и $\triangle CBH'$ равна площади треугольника $\triangle BDH'$: $$ S_{\triangle BCD} + S_{\triangle CBH'} = S_{\triangle BDH'} $$ Подставив это в выражение для площади $ABCD$, получаем: $$ S_{ABCD} = S_{\triangle BDH'} + S_{\triangle BHD} $$ Сумма площадей треугольников $\triangle BDH'$ и $\triangle BHD$ — это в точности площадь четырехугольника $BHDH'$. Таким образом, мы доказали, что искомая площадь равна площади четырехугольника $BHDH'$: $$ S_{ABCD} = S_{BHDH'} $$

Осталось найти площадь четырехугольника $BHDH'$. Определим его свойства:

• $BH = 1$ (по условию) и $BH' = 1$ (как результат поворота).
• $\angle HBH' = 90°$ (это угол, на который мы совершали поворот).
• $\angle BHD = 90°$ (по условию $BH \perp AD$, а точки $H, D$ лежат на прямой $AD$).
• $\angle BH'D = 90°$ (так как $\angle BH'C = 90°$ из поворота, а точки $D, C, H'$ лежат на одной прямой).

В четырехугольнике $BHDH'$ три угла ($\angle HBH'$, $\angle BHD$, $\angle BH'D$) являются прямыми. Сумма углов четырехугольника равна $360°$, поэтому четвертый угол $\angle HDH'$ также равен $360° - 90° - 90° - 90° = 90°$. Следовательно, $BHDH'$ — это прямоугольник.

Поскольку у прямоугольника $BHDH'$ смежные стороны $BH$ и $BH'$ равны ($BH = BH' = 1$), этот прямоугольник является квадратом. Площадь квадрата $BHDH'$ равна квадрату его стороны: $$ S_{BHDH'} = BH^2 = 1^2 = 1 $$ Так как $S_{ABCD} = S_{BHDH'}$, то площадь четырехугольника $ABCD$ равна 1.

Ответ: 1.

Условие 2015-2022.

3. В четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABC$ и $ADC$ прямые, а стороны $AB$ и $BC$ равны (рис. 233). Известно, что $BH \perp AD$ и $BH = 1$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

Рис. 233