Номер 2, страница 166 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Равносоставленные и равновеликие многоугольники. Когда сделаны уроки. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 2, страница 166.

Условие 2023.

2. Докажите, что площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, опущенного на прямую, которая содержит эту сторону, из середины другой боковой стороны.

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами AB и CD. Пусть M — середина боковой стороны CD. Опустим из точки M перпендикуляр MH на прямую, содержащую боковую сторону AB. Требуется доказать, что площадь трапеции $S_{ABCD}$ равна произведению длины стороны AB на длину перпендикуляра MH, то есть:$S_{ABCD} = AB \cdot MH$

Для доказательства выполним дополнительное построение. Продлим отрезок BM так, чтобы он пересек продолжение основания AD в точке E.

Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle EMD$. В этих треугольниках:
1. $CM = MD$ по условию, так как M — середина отрезка CD.
2. $\angle BCM = \angle EDM$ как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых BC и AE (содержащей сторону AD) секущей CD.
3. $\angle CMB = \angle DME$ как вертикальные углы.
Следовательно, $\triangle BMC \cong \triangle EMD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что их площади также равны: $S_{\triangle BMC} = S_{\triangle EMD}$.

Площадь трапеции ABCD складывается из площади четырехугольника ABMD и площади треугольника BMC:$S_{ABCD} = S_{ABMD} + S_{\triangle BMC}$

Так как $S_{\triangle BMC} = S_{\triangle EMD}$, мы можем заменить одно слагаемое на другое:$S_{ABCD} = S_{ABMD} + S_{\triangle EMD}$

Сумма площадей $S_{ABMD}$ и $S_{\triangle EMD}$ в точности равна площади большого треугольника $\triangle ABE$. Таким образом, мы установили, что площадь исходной трапеции равна площади построенного треугольника:$S_{ABCD} = S_{\triangle ABE}$

Теперь найдем площадь треугольника $\triangle ABE$. Площадь треугольника вычисляется как половина произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Выберем сторону AB в качестве основания. Высотой, проведенной к этому основанию из вершины E, будет перпендикуляр, опущенный из точки E на прямую AB. Обозначим эту высоту $h_E$. Тогда площадь треугольника $\triangle ABE$ равна:$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_E$

Осталось связать высоту $h_E$ с длиной отрезка MH. Из доказанного ранее равенства треугольников $\triangle BMC \cong \triangle EMD$ следует равенство соответствующих сторон: $BM = ME$. Это означает, что точка M является серединой стороны BE треугольника $\triangle ABE$.

Рассмотрим треугольник, образованный вершиной E и отрезком BE. Отрезок MH по условию перпендикулярен прямой AB. Высота $h_E$ также перпендикулярна прямой AB. Отсюда следует, что $MH \parallel h_E$. Так как отрезок MH проходит через середину стороны BE и параллелен стороне $h_E$ (в треугольнике, образованном точками B, E и основанием высоты $h_E$), то MH является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины параллельной ей стороны:$MH = \frac{1}{2} h_E$, из чего следует, что $h_E = 2 \cdot MH$.

Подставим полученное выражение для $h_E$ в формулу площади треугольника $\triangle ABE$:$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot (2 \cdot MH) = AB \cdot MH$

Поскольку мы ранее показали, что $S_{ABCD} = S_{\triangle ABE}$, то окончательно получаем:$S_{ABCD} = AB \cdot MH$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь трапеции равна произведению ее боковой стороны на длину перпендикуляра, опущенного на прямую, содержащую эту боковую сторону, из середины другой боковой стороны.

Условие 2015-2022.

2. Докажите, что площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, опущенного на прямую, которая содержит эту сторону, из середины другой боковой стороны.