Номер 1, страница 168 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Теорема Чевы. Когда сделаны уроки. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 1, страница 168.

Условие 2023.

1. Докажите, что:

1) медианы треугольника конкурентны;

2) биссектрисы треугольника конкурентны;

3) высоты остроугольного треугольника конкурентны.

Решение 6 (2023).

1) медианы треугольника конкурентны;

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ – его медианы, где $A_1$, $B_1$, $C_1$ – середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

Рассмотрим пересечение двух медиан, например, $BB_1$ и $CC_1$. Обозначим их точку пересечения как $O$.

Отрезок $B_1C_1$ является средней линией треугольника $ABC$, так как он соединяет середины сторон $AC$ и $AB$. По свойству средней линии, $B_1C_1 \parallel BC$ и $B_1C_1 = \frac{1}{2} BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OB_1C_1$ и $\triangle OBC$.

Углы $\angle C_1B_1O$ и $\angle BCO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $B_1C_1$ и $BC$ и секущей $BB_1$. Аналогично, $\angle B_1C_1O = \angle CBO$ при секущей $CC_1$.

Следовательно, треугольники $\triangle OB_1C_1$ и $\triangle OBC$ подобны по двум углам (признак подобия по двум углам). Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон: $k = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{1}{2}$.

Из подобия следует, что $\frac{OB_1}{OB} = \frac{OC_1}{OC} = \frac{1}{2}$. Это означает, что точка пересечения $O$ делит медианы $BB_1$ и $CC_1$ в отношении $2:1$, считая от вершины.

Теперь рассмотрим пересечение медиан $AA_1$ и $BB_1$. Пусть они пересекаются в точке $O'$. Аналогично, рассматривая среднюю линию $A_1B_1$, доказывается, что $\triangle O'A_1B_1 \sim \triangle O'AB$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$. Следовательно, точка $O'$ делит медианы $AA_1$ и $BB_1$ в отношении $2:1$, считая от вершины.

Таким образом, и точка $O$, и точка $O'$ делят медиану $BB_1$ в одном и том же отношении $2:1$, считая от вершины $B$. Это означает, что точки $O$ и $O'$ совпадают. Следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) биссектрисы треугольника конкурентны;

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $AL_a$, $BL_b$ и $CL_c$ – биссектрисы его внутренних углов $A$, $B$ и $C$ соответственно.

Биссектрисы двух углов треугольника, например $\angle A$ и $\angle B$, пересекаются, так как сумма этих углов меньше $180^\circ$. Обозначим точку их пересечения буквой $I$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.

Поскольку точка $I$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Обозначим расстояния от точки $I$ до прямых, содержащих стороны треугольника, как $d(I, AB)$, $d(I, AC)$ и $d(I, BC)$. Тогда $d(I, AB) = d(I, AC)$.

Поскольку точка $I$ также лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от сторон $AB$ и $BC$. То есть $d(I, AB) = d(I, BC)$.

Из двух полученных равенств следует, что $d(I, AC) = d(I, BC)$. Это означает, что точка $I$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$.

Множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (в данном случае $AC$ и $BC$), является биссектрисой угла, образованного этими прямыми. Так как точка $I$ находится внутри треугольника, она лежит на биссектрисе внутреннего угла $C$.

Таким образом, точка пересечения биссектрис углов $A$ и $B$ лежит также и на биссектрисе угла $C$. Это означает, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) высоты остроугольного треугольника конкурентны.

Рассмотрим остроугольный треугольник $ABC$. Пусть $AA'$, $BB'$ и $CC'$ – его высоты, опущенные из вершин $A$, $B$ и $C$ на противолежащие стороны соответственно. Это означает, что $AA' \perp BC$, $BB' \perp AC$ и $CC' \perp AB$.

Для доказательства воспользуемся методом вспомогательного построения. Проведем через каждую вершину треугольника $ABC$ прямую, параллельную противолежащей стороне.

• Через вершину $A$ проведем прямую $l_A \parallel BC$.
• Через вершину $B$ проведем прямую $l_B \parallel AC$.
• Через вершину $C$ проведем прямую $l_C \parallel AB$.

Эти три прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник $A_1B_1C_1$, где $A_1 = l_B \cap l_C$, $B_1 = l_A \cap l_C$, и $C_1 = l_A \cap l_B$.

Рассмотрим четырехугольник $ACBC_1$. По построению $AC_1 \parallel BC$ (так как $C_1 \in l_A$) и $BC_1 \parallel AC$ (так как $C_1 \in l_B$). Следовательно, $ACBC_1$ – параллелограмм, и $AC_1 = BC$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCB_1$. По построению $AB_1 \parallel BC$ (так как $B_1 \in l_A$) и $CB_1 \parallel AB$ (так как $B_1 \in l_C$). Следовательно, $ABCB_1$ – параллелограмм, и $AB_1 = BC$.

Из равенств $AC_1 = BC$ и $AB_1 = BC$ следует, что $AC_1 = AB_1$. Точки $A$, $B_1$, $C_1$ лежат на одной прямой $l_A$, поэтому точка $A$ является серединой отрезка $B_1C_1$.

Аналогично, рассматривая параллелограммы $ABA_1C$ и $ACBC_1$, доказывается, что точка $B$ является серединой отрезка $A_1C_1$. Рассматривая параллелограммы $ABA_1C$ и $ABCB_1$, доказывается, что точка $C$ – середина отрезка $A_1B_1$.

Теперь рассмотрим высоты исходного треугольника $ABC$.

Высота $AA'$ перпендикулярна стороне $BC$. Так как по построению $BC \parallel B_1C_1$ (прямая $l_A$), то $AA'$ перпендикулярна и прямой $B_1C_1$. Поскольку $A$ – середина $B_1C_1$, то прямая $AA'$ является серединным перпендикуляром к стороне $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.

Аналогично, высота $BB'$ является серединным перпендикуляром к стороне $A_1C_1$, а высота $CC'$ – серединным перпендикуляром к стороне $A_1B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.

Известно, что серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке (центре описанной окружности этого треугольника). Следовательно, прямые $AA'$, $BB'$ и $CC'$, являющиеся серединными перпендикулярами для треугольника $A_1B_1C_1$, также пересекаются в одной точке.

Таким образом, высоты треугольника $ABC$ конкурентны. Примечание: Данное доказательство справедливо для любого треугольника, не только для остроугольного.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

1. Докажите, что:

1) медианы треугольника конкурентны;

2) биссектрисы треугольника конкурентны;

3) высоты остроугольного треугольника конкурентны.