Номер 1, страница 166 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Равносоставленные и равновеликие многоугольники. Когда сделаны уроки. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 1, страница 166.

Условие 2023.

1. Докажите, что трапеция является равносоставленной с параллелограммом, основание которого равно средней линии трапеции, а вы-

Решение 6 (2023).

Для доказательства разобьем трапецию на части и составим из них требуемый параллелограмм.

1. Построение. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD || BC$) и высотой $h$. Пусть $K$ — середина боковой стороны $CD$. Проведём через точку $K$ прямую, параллельную стороне $AB$. Эта прямая пересечёт прямую, содержащую основание $AD$, в точке $M$ и прямую, содержащую основание $BC$, в точке $L$. Получим четырёхугольник $ABLM$.

2. Доказательство, что $ABLM$ — параллелограмм. По построению сторона $AB$ параллельна стороне $LM$. Стороны $AM$ и $BL$ лежат на параллельных прямых ($AD || BC$). Следовательно, $AM || BL$. Так как у четырёхугольника $ABLM$ противолежащие стороны попарно параллельны, то $ABLM$ — параллелограмм. Высота этого параллелограмма равна высоте исходной трапеции $h$, так как его основания лежат на тех же параллельных прямых.

3. Доказательство равносоставленности. Рассмотрим треугольники $\triangle KDM$ и $\triangle KCL$.
- $KD = KC$, так как $K$ — середина отрезка $CD$.
- $\angle DKM = \angle CKL$ как вертикальные углы.
- $\angle MDK = \angle LCK$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BL$ и секущей $CD$.
Следовательно, $\triangle KDM \cong \triangle KCL$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Трапеция $ABCD$ состоит из четырёхугольника $ABCKM$ и треугольника $\triangle KDM$. Параллелограмм $ABLM$ состоит из того же четырёхугольника $ABCKM$ и треугольника $\triangle KCL$. Поскольку треугольники $\triangle KDM$ и $\triangle KCL$ равны, то трапеция $ABCD$ и параллелограмм $ABLM$ равносоставлены (т.е. состоят из одинаковых частей).

4. Нахождение основания параллелограмма. Найдём длину основания $AM$ параллелограмма $ABLM$.
Из равенства треугольников $\triangle KDM \cong \triangle KCL$ следует равенство соответствующих сторон: $DM = CL$.
В параллелограмме $ABLM$ противоположные стороны равны: $AM = BL$.
Длина стороны $BL$ равна $BC + CL$. Заменяя $CL$ на $DM$, получаем $AM = BC + DM$.
В то же время, точка $M$ лежит на прямой $AD$, поэтому $AM = AD - DM$.
Приравнивая два полученных выражения для $AM$, имеем:
$BC + DM = AD - DM$
$2 \cdot DM = AD - BC$
$DM = \frac{AD - BC}{2}$
Теперь подставим это выражение для $DM$ в формулу для $AM$:
$AM = AD - DM = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{2 \cdot AD - (AD - BC)}{2} = \frac{2 \cdot AD - AD + BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$.
Выражение $\frac{AD + BC}{2}$ является формулой для длины средней линии трапеции.

Таким образом, мы доказали, что трапеция $ABCD$ равносоставлена с параллелограммом $ABLM$, высота которого равна высоте трапеции, а основание равно средней линии трапеции. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано путём разрезания трапеции и пересборки частей в параллелограмм с заданными свойствами.

Условие 2015-2022.

1. Докажите, что трапеция является равносоставленной с параллелограммом, основание которого равно средней линии трапеции, а высота — высоте трапеции.