Номер 804, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 804, страница 164.

Условие 2023.

804. На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$, $K$ и $D$ так, что $MK \parallel AC$, $DK \parallel AB$, $BK : KC = 3 : 2$.

Найдите периметр четырёхугольника $AMKD$, если $AC = 15$ см, $AB = 25$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку по условию задачи $MK \parallel AC$ и $DK \parallel AB$, то противоположные стороны четырёхугольника $AMKD$ попарно параллельны. Следовательно, четырёхугольник $AMKD$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AM = DK$ и $MK = AD$. Периметр $P_{AMKD}$ равен сумме длин всех его сторон: $P_{AMKD} = AM + MK + KD + AD = 2(MK + DK)$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как отрезок $MK$ соединяет стороны $AB$ и $BC$ и при этом $MK \parallel AC$, то $\triangle MBK$ подобен $\triangle ABC$. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$ \frac{MK}{AC} = \frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} $

Из условия известно, что $BK : KC = 3 : 2$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$, тогда $BK = 3x$ и $KC = 2x$. Длина стороны $BC$ равна сумме длин её частей: $BC = BK + KC = 3x + 2x = 5x$. Тогда отношение $\frac{BK}{BC} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$.

Теперь мы можем найти длину стороны $MK$, подставив известные значения ($AC=15$ см) в соотношение сторон подобных треугольников:

$ \frac{MK}{15} = \frac{3}{5} $

$ MK = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9 $ см.

Аналогично, рассмотрим $\triangle ABC$. Так как отрезок $DK$ соединяет стороны $AC$ и $BC$ и при этом $DK \parallel AB$, то $\triangle DKC$ подобен $\triangle ABC$. Из подобия этих треугольников следует:

$ \frac{DK}{AB} = \frac{CD}{AC} = \frac{KC}{BC} $

Отношение $\frac{KC}{BC} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$.

Теперь найдем длину стороны $DK$, подставив известные значения ($AB = 25$ см) в соотношение сторон:

$ \frac{DK}{25} = \frac{2}{5} $

$ DK = 25 \cdot \frac{2}{5} = 10 $ см.

Периметр параллелограмма $AMKD$ равен $P_{AMKD} = 2(MK + DK)$. Подставим найденные длины сторон $MK$ и $DK$:

$ P_{AMKD} = 2(9 + 10) = 2 \cdot 19 = 38 $ см.

Ответ: 38 см.

Условие 2015-2022.

804. На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$, $K$ и $D$ так, что $MK \parallel AC$, $DK \parallel AB$, $BK : KC = 3 : 2$. Найдите периметр четырёхугольника $AMKD$, если $AC = 15 \text{ см}$, $AB = 25 \text{ см}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).