Номер 3, страница 168 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Теорема Чевы. Когда сделаны уроки. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 3, страница 168.

Условие 2023.

3. Прямые $AP$, $BP$ и $CP$ пересекают стороны треугольника $ABC$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что прямые, проходящие через середины сторон $BC$, $CA$ и $AB$ параллельно прямым $AP$, $BP$ и $CP$ соответственно, конкурентны.

Указание. Примените теорему Чевы к треугольнику, вершины которого являются серединами сторон треугольника $ABC$.

Решение 6 (2023).

Пусть $D, E, F$ — середины сторон $BC, CA, AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Треугольник $DEF$ называется срединным треугольником для треугольника $ABC$.

По условию задачи, прямые $AP, BP, CP$ пересекают стороны треугольника $ABC$ в точках $A_1, B_1, C_1$. Это означает, что чевианы $AA_1, BB_1, CC_1$ конкурентны (пересекаются в одной точке $P$). Согласно теореме Чевы (в тригонометрической форме) для треугольника $ABC$ и точки $P$, выполняется следующее соотношение:

$$ \frac{\sin(\angle PAB)}{\sin(\angle PAC)} \cdot \frac{\sin(\angle PBC)}{\sin(\angle PBA)} \cdot \frac{\sin(\angle PCA)}{\sin(\angle PCB)} = 1 $$

Нам нужно доказать, что прямые, проходящие через точки $D, E, F$ параллельно прямым $AP, BP, CP$ соответственно, также конкурентны. Обозначим эти прямые как $l_D, l_E, l_F$.

Воспользуемся указанием и применим обратную теорему Чевы к срединному треугольнику $DEF$. Для этого нам нужно найти точки пересечения прямых $l_D, l_E, l_F$ со сторонами треугольника $DEF$.

Пусть прямая $l_D$ пересекает сторону $EF$ в точке $D_2$.
Пусть прямая $l_E$ пересекает сторону $DF$ в точке $E_2$.
Пусть прямая $l_F$ пересекает сторону $DE$ в точке $F_2$.

Чтобы доказать, что прямые $l_D$ (т.е. $DD_2$), $l_E$ (т.е. $EE_2$) и $l_F$ (т.е. $FF_2$) конкурентны, нам нужно доказать, что выполняется соотношение Чевы для треугольника $DEF$:

$$ \frac{FD_2}{D_2E} \cdot \frac{ED_2}{D_2F} \cdot \frac{FE_2}{E_2D} \cdot \frac{DF_2}{F_2E} = 1 $$

Выразим каждое отношение через углы и стороны треугольника $ABC$.

1. Найдем отношение $\frac{ED_2}{D_2F}$

Применим теорему синусов для треугольников $EDD_2$ и $FDD_2$, которые имеют общую сторону $DD_2$. Или, что эквивалентно, используем свойство чевианы $DD_2$ в треугольнике $DEF$:

$$ \frac{ED_2}{D_2F} = \frac{DE}{DF} \cdot \frac{\sin(\angle EDD_2)}{\sin(\angle FDD_2)} $$

По свойству срединного треугольника, его стороны параллельны сторонам исходного треугольника и равны их половинам:
$DE \parallel AB \implies DE = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$
$DF \parallel AC \implies DF = \frac{1}{2}AC = \frac{b}{2}$
$EF \parallel BC \implies EF = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$
Следовательно, $\frac{DE}{DF} = \frac{c/2}{b/2} = \frac{c}{b}$.

Угол $\angle EDD_2$ — это угол между прямыми $DE$ и $l_D$. Так как $DE \parallel AB$ и $l_D \parallel AP$, то угол между ними равен углу между $AB$ и $AP$, то есть $\angle PAB$.
Аналогично, угол $\angle FDD_2$ — это угол между прямыми $DF$ и $l_D$. Так как $DF \parallel AC$ и $l_D \parallel AP$, то угол между ними равен углу между $AC$ и $AP$, то есть $\angle PAC$.

Подставляя найденные значения, получаем:

$$ \frac{ED_2}{D_2F} = \frac{c}{b} \cdot \frac{\sin(\angle PAB)}{\sin(\angle PAC)} $$

2. Найдем отношение $\frac{FE_2}{E_2D}$

Рассмотрим чевиану $EE_2$ в треугольнике $DEF$:

$$ \frac{FE_2}{E_2D} = \frac{EF}{ED} \cdot \frac{\sin(\angle FEE_2)}{\sin(\angle DEE_2)} $$

Имеем $\frac{EF}{ED} = \frac{a/2}{c/2} = \frac{a}{c}$.

Угол $\angle FEE_2$ — это угол между $EF$ и $l_E$. Так как $EF \parallel BC$ и $l_E \parallel BP$, то угол равен $\angle PBC$.
Угол $\angle DEE_2$ — это угол между $DE$ и $l_E$. Так как $DE \parallel AB$ и $l_E \parallel BP$, то угол равен $\angle PBA$.

Получаем:

$$ \frac{FE_2}{E_2D} = \frac{a}{c} \cdot \frac{\sin(\angle PBC)}{\sin(\angle PBA)} $$

3. Найдем отношение $\frac{DF_2}{F_2E}$

Рассмотрим чевиану $FF_2$ в треугольнике $DEF$:

$$ \frac{DF_2}{F_2E} = \frac{DF}{EF} \cdot \frac{\sin(\angle DFF_2)}{\sin(\angle EFF_2)} $$

Имеем $\frac{DF}{EF} = \frac{b/2}{a/2} = \frac{b}{a}$.

Угол $\angle DFF_2$ — это угол между $DF$ и $l_F$. Так как $DF \parallel AC$ и $l_F \parallel CP$, то угол равен $\angle PCA$.
Угол $\angle EFF_2$ — это угол между $EF$ и $l_F$. Так как $EF \parallel BC$ и $l_F \parallel CP$, то угол равен $\angle PCB$.

Получаем:

$$ \frac{DF_2}{F_2E} = \frac{b}{a} \cdot \frac{\sin(\angle PCA)}{\sin(\angle PCB)} $$

4. Проверим выполнение условия теоремы Чевы

Перемножим полученные отношения:

$$ \frac{ED_2}{D_2F} \cdot \frac{FE_2}{E_2D} \cdot \frac{DF_2}{F_2E} = \left(\frac{c}{b} \cdot \frac{\sin(\angle PAB)}{\sin(\angle PAC)}\right) \cdot \left(\frac{a}{c} \cdot \frac{\sin(\angle PBC)}{\sin(\angle PBA)}\right) \cdot \left(\frac{b}{a} \cdot \frac{\sin(\angle PCA)}{\sin(\angle PCB)}\right) $$

Сгруппируем множители:

$$ \left(\frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{a}\right) \cdot \left(\frac{\sin(\angle PAB)}{\sin(\angle PAC)} \cdot \frac{\sin(\angle PBC)}{\sin(\angle PBA)} \cdot \frac{\sin(\angle PCA)}{\sin(\angle PCB)}\right) $$

Первая скобка равна 1. Вторая скобка представляет собой левую часть тригонометрической формы теоремы Чевы для треугольника $ABC$ и точки $P$. Поскольку прямые $AP, BP, CP$ конкурентны, это выражение также равно 1.

Таким образом, мы получили:

$$ \frac{ED_2}{D_2F} \cdot \frac{FE_2}{E_2D} \cdot \frac{DF_2}{F_2E} = 1 \cdot 1 = 1 $$

Так как соотношение Чевы для треугольника $DEF$ и точек $D_2, E_2, F_2$ выполняется, то по обратной теореме Чевы прямые $DD_2, EE_2, FF_2$ (то есть $l_D, l_E, l_F$) пересекаются в одной точке.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые, проходящие через середины сторон $BC, CA$ и $AB$ параллельно прямым $AP, BP$ и $CP$ соответственно, конкурентны.

Условие 2015-2022.

3. Прямые $AP$, $BP$ и $CP$ пересекают стороны треугольника $ABC$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что прямые, проходящие через середины сторон $BC$, $CA$ и $AB$ параллельно прямым $AP$, $BP$ и $CP$ соответственно, конкурентны.

Указание. Примените теорему Чевы к треугольнику, вершины которого являются серединами сторон треугольника $ABC$.