Номер 7, страница 169 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 4 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 7, страница 169.

Условие 2023.

7. В окружность радиусом 1 см вписаны квадрат и равносторонний треугольник. Чему равно отношение площади треугольника к площади квадрата?

А) $ \frac{3\sqrt{3}}{4} $

Б) $ 3\sqrt{3} $

В) $ \frac{3\sqrt{3}}{2} $

Г) $ \frac{3\sqrt{3}}{8} $

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи необходимо найти площадь квадрата и площадь равностороннего треугольника, вписанных в окружность радиусом $R = 1$ см, а затем найти их отношение.

1. Вычисление площади вписанного квадрата

Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. Обозначим диагональ как $d$.

$d = 2R = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Площадь квадрата ($S_{кв}$) можно выразить через его диагональ по формуле:

$S_{кв} = \frac{d^2}{2}$

Подставим значение диагонали:

$S_{кв} = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см².

2. Вычисление площади вписанного равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника ($a$), вписанного в окружность, связана с радиусом ($R$) описанной окружности формулой:

$a = R\sqrt{3}$

Подставим значение радиуса:

$a = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Площадь равностороннего треугольника ($S_{\triangle}$) вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны:

$S_{\triangle} = \frac{(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ см².

3. Нахождение отношения площадей

Теперь найдем отношение площади треугольника к площади квадрата:

$\frac{S_{\triangle}}{S_{кв}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Данное значение соответствует варианту ответа Г).

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{8}$

Условие 2015-2022.

7. В окружность радиуса 1 см вписаны квадрат и равносторонний треугольник. Чему равно отношение площади треугольника к площади квадрата?

А) $3\sqrt{3}/4$

В) $3\sqrt{3}/2$

Б) $3\sqrt{3}$

Г) $3\sqrt{3}/8$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).