Номер 10, страница 170 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 4 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 10, страница 170.

Условие 2023.

10. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны и делят её среднюю линию на три равные части. Чему равна площадь трапеции, если её большее основание равно 12 см?

А) 50 $\text{см}^2$

Б) 64 $\text{см}^2$

В) 81 $\text{см}^2$

Г) 144 $\text{см}^2$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD$ — большее основание. По условию, $AD = a = 12$ см. Обозначим длину меньшего основания $BC$ как $b$.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Длина средней линии равна полусумме оснований: $MN = \frac{a+b}{2}$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекают среднюю линию $MN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MP$ соединяет середину стороны $AB$ (точку $M$) с точкой $P$ на стороне $AC$. Так как средняя линия $MN$ параллельна основаниям, то $MP \parallel BC$. По свойству средней линии треугольника, отрезок $MP$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, его длина равна половине основания $BC$: $MP = \frac{1}{2} BC = \frac{b}{2}$.

Аналогично, рассмотрев треугольник $BCD$, можно показать, что $QN$ является его средней линией (соединяет середину стороны $CD$ с точкой $Q$ на $BD$ и параллельна $BC$), и ее длина равна: $QN = \frac{1}{2} BC = \frac{b}{2}$.

Длина отрезка $PQ$, находящегося между диагоналями, может быть вычислена как разность длин отрезков $MN$ и $MP, QN$: $PQ = MN - MP - QN = \frac{a+b}{2} - \frac{b}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a+b-2b}{2} = \frac{a-b}{2}$.

По условию задачи, диагонали делят среднюю линию на три равные части. Это означает, что $MP = PQ = QN$. Приравнивая выражения для длин этих отрезков, получаем: $\frac{b}{2} = \frac{a-b}{2}$

Из этого равенства следует: $b = a-b$ $2b = a$

Так как большее основание $a=12$ см, найдем меньшее основание $b$: $b = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь найдем площадь трапеции. Формула площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.

Для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями существует важное свойство: ее высота равна ее средней линии. Докажем это. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Проведем через точку $O$ высоту трапеции, которая пересечет основания $BC$ и $AD$ в точках $H_1$ и $H_2$ соответственно. Высота $h = H_1H_2 = OH_1 + OH_2$. Так как трапеция равнобокая, а диагонали перпендикулярны, то треугольники $AOD$ и $BOC$ являются прямоугольными и равнобедренными. Высоты $OH_2$ и $OH_1$ в этих треугольниках являются также и медианами. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна ее половине. Следовательно, $OH_2 = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$. Аналогично, $OH_1 = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$. Высота всей трапеции равна сумме высот этих треугольников: $h = OH_1 + OH_2 = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Таким образом, высота трапеции равна ее средней линии. Площадь трапеции можно вычислить по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

Подставим найденные значения оснований $a=12$ см и $b=6$ см в формулу площади: $S = \left(\frac{12+6}{2}\right)^2 = \left(\frac{18}{2}\right)^2 = 9^2 = 81$ см².

Среди предложенных вариантов ответа это соответствует варианту В).

Ответ: 81 см²

Условие 2015-2022.

10. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны и делят её среднюю линию на три равные части. Чему равна площадь трапеции, если её большее основание равно 12 см?

А) $50 \text{ см}^2$

Б) $64 \text{ см}^2$

В) $81 \text{ см}^2$

Г) $144 \text{ см}^2$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).