Номер 811, страница 180 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 811, страница 180.

Условие 2023.

811. Верно ли утверждение:

1) если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

2) если две стороны четырёхугольника параллельны и точка пересечения диагоналей равноудалена от этих сторон, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

3) если две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие — равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

4) если биссектрисы двух противолежащих углов четырёхугольника перпендикулярны биссектрисе его третьего угла, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

5) если диагональ четырёхугольника разбивает его на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

6) если каждая диагональ четырёхугольника разбивает его на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

7) если каждые две противолежащие вершины четырёхугольника равноудалены от диагонали, соединяющей две другие вершины, то этот четырёхугольник — параллелограмм?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

1) Утверждение неверно. Контрпримером является равнобокая (или равнобедренная) трапеция. У такой трапеции диагонали равны, но она не является параллелограммом, поскольку у нее параллельна только одна пара противолежащих сторон.
Ответ: нет.

2) Утверждение верно. Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), а диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Пусть расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ равно $h_1$, а до стороны $AD$ — $h_2$. По условию $h_1 = h_2$.
Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Углы $\angle OBC$ и $\angle ODA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$. Аналогично, $\angle OCB = \angle OAD$ как накрест лежащие при тех же параллельных прямых и секущей $AC$. Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам.
Высоты $h_1$ и $h_2$ являются соответствующими высотами в этих подобных треугольниках. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон и отношению высот: $k = \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{DA} = \frac{h_1}{h_2}$.
Так как по условию $h_1 = h_2$, то коэффициент подобия $k=1$. Это означает, что треугольники равны: $\triangle BOC \cong \triangle DOA$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $BO = DO$ и $CO = AO$.
Поскольку диагонали четырёхугольника в точке пересечения делятся пополам, данный четырёхугольник является параллелограммом по признаку.
Ответ: да.

3) Утверждение неверно. Как и в пункте 1, контрпримером является равнобокая трапеция. У нее две стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (боковые) равны. Однако трапеция не является параллелограммом.
Ответ: нет.

4) Утверждение верно. Пусть дан четырёхугольник $ABCD$ с углами $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Пусть $l_A, l_B, l_C$ — биссектрисы углов $A, B, C$ соответственно. По условию, биссектрисы противолежащих углов $A$ и $C$ перпендикулярны биссектрисе угла $B$. То есть, $l_A \perp l_B$ и $l_C \perp l_B$.
Рассмотрим пересечение биссектрис $l_A$ и $l_B$. Они образуют прямоугольный треугольник, в котором два других угла равны $\frac{\angle A}{2}$ и $\frac{\angle B}{2}$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно:
$90^\circ + \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 180^\circ$
$\frac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$
$\angle A + \angle B = 180^\circ$
Сумма односторонних углов при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$ равна $180^\circ$, что является признаком параллельности прямых. Следовательно, $AD \parallel BC$.
Аналогично, из условия $l_C \perp l_B$ следует, что $\angle B + \angle C = 180^\circ$. Сумма односторонних углов при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BC$ равна $180^\circ$, значит $AB \parallel CD$.
Поскольку у четырёхугольника противолежащие стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$), он является параллелограммом по определению.
Ответ: да.

5) Утверждение неверно. Контрпримером является дельтоид, который не является ромбом. Диагональ, являющаяся осью симметрии дельтоида, делит его на два равных (конгруэнтных) треугольника. Однако дельтоид в общем случае не является параллелограммом (у него равны смежные, а не противолежащие стороны).
Например, в четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ делит его на $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Если $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ с соответствием вершин $A \leftrightarrow A, B \leftrightarrow D, C \leftrightarrow C$, то $AB = AD$ и $BC = CD$. Это определение дельтоида, а не параллелограмма.
Ответ: нет.

6) Утверждение верно. Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$.
Условие, что диагональ $AC$ разбивает четырёхугольник на два равных треугольника ($\triangle ABC$ и $\triangle ADC$), означает, что эти треугольники как минимум равновелики (имеют равные площади): $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.
Аналогично, диагональ $BD$ разбивает четырёхугольник на два равных треугольника ($\triangle ABD$ и $\triangle CBD$), откуда следует $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle CBD}$.
Запишем эти равенства через площади меньших треугольников, на которые диагонали делят друг друга:
$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} = S_{\triangle AOD} + S_{\triangle DOC}$ (1)
$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle DOC}$ (2)
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
$(S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC}) - (S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}) = (S_{\triangle AOD} + S_{\triangle DOC}) - (S_{\triangle BOC} + S_{\triangle DOC})$
$S_{\triangle BOC} - S_{\triangle AOD} = S_{\triangle AOD} - S_{\triangle BOC}$
$2 \cdot S_{\triangle BOC} = 2 \cdot S_{\triangle AOD} \implies S_{\triangle BOC} = S_{\triangle AOD}$.
Подставим это равенство обратно в уравнение (2):
$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle AOD} + S_{\triangle DOC} \implies S_{\triangle AOB} = S_{\triangle DOC}$.
Итак, мы получили, что площади треугольников, прилежащих к противолежащим сторонам, попарно равны.
Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.
$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \sin(\angle AOB)$
$S_{\triangle DOC} = \frac{1}{2} OD \cdot OC \sin(\angle DOC)$
Так как $\angle AOB = \angle DOC$ (вертикальные углы), из равенства площадей следует $OA \cdot OB = OD \cdot OC$ (3).
$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} OA \cdot OD \sin(\angle AOD)$
$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} OB \cdot OC \sin(\angle BOC)$
Так как $\angle AOD = \angle BOC$ (вертикальные углы), из равенства площадей следует $OA \cdot OD = OB \cdot OC$ (4).
Разделив уравнение (3) на (4), получим $\frac{OB}{OD} = \frac{OD}{OB}$, откуда $OB^2 = OD^2$ и $OB = OD$.
Подставив $OB=OD$ в уравнение (3), получим $OA \cdot OB = OC \cdot OB$, откуда $OA = OC$.
Поскольку диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам ($OA=OC$ и $OB=OD$), он является параллелограммом.
Ответ: да.

7) Утверждение верно. Пусть дан четырёхугольник $ABCD$.
Условие, что вершины $B$ и $D$ равноудалены от диагонали $AC$, означает, что высоты треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, опущенные из вершин $B$ и $D$ на прямую $AC$, равны. Обозначим их $h_B$ и $h_D$. Так как основание $AC$ у этих треугольников общее, равенство высот ($h_B=h_D$) означает равенство их площадей: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_B = \frac{1}{2} AC \cdot h_D = S_{\triangle ADC}$.
Аналогично, условие, что вершины $A$ и $C$ равноудалены от диагонали $BD$, означает, что высоты треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ из вершин $A$ и $C$ на прямую $BD$ равны. Это означает равенство площадей этих треугольников: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle CBD}$.
Таким образом, условие задачи эквивалентно тому, что каждая диагональ делит четырёхугольник на два равновеликих треугольника. Как было доказано в пункте 6, это является достаточным условием для того, чтобы четырёхугольник был параллелограммом (его диагонали точкой пересечения делятся пополам).
Ответ: да.

Условие 2015-2022.

811. Верно ли утверждение:

1) если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

2) если две стороны четырёхугольника параллельны и точка пересечения диагоналей равноудалена от этих сторон, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

3) если две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие — равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

4) если биссектрисы двух противолежащих углов четырёхугольника перпендикулярны биссектрисе его третьего угла, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

5) если диагональ четырёхугольника разбивает его на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

6) если каждая диагональ четырёхугольника разбивает его на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм;

7) если каждые две противолежащие вершины четырёхугольника равноудалены от диагонали, соединяющей две другие вершины, то этот четырёхугольник — параллелограмм?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).